Уравнение прямой, проходящей через две точки онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через две точки. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точек в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Уравнение прямой, проходящей через две точки − примеры и решения
Подставив координаты точек A и B в уравнение (1), получим:
 |
 |
(Здесь 0 в знаменателе не означает деление на 0).
Составим параметрическое уравнение прямой:
 |
Выразим переменные x, y, z через параметр t :
 |
|
|
Пример 2. Построить прямую, проходящую через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2).
Подставив координаты точек A и B в уравнение (2), получим:
 |
 |
Составим параметрическое уравнение прямой:
 |
Выразим переменные x, y, z через параметр t :
  |
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:
|
Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:
Уравнение прямой проходящей через две точки
Дело в том, что там будет использоваться формула уравнения прямой. Конечно, можно было бы просто показать данную формулу и посоветовать вам её выучить. Но лучше объяснить – от куда она исходит (как выводится). Это необходимо! Если вы её забудете, то быстро восстановить её не представит труда. Ниже подробно всё изложено. Итак, у нас на координатной плоскости имеется две точки А (х1;у1) и В(х2;у2), через указанные точки проведена прямая:
Вот сама формула прямой:
*То есть при подстановке конкретных координат точек мы получим уравнение вида y=kx+b.
**Если данную формулу просто «зазубрить», то имеется большая вероятность запутаться с индексами при х. Кроме того, индексы могут обозначаться по разному, например:
Поэтому-то и важно понимать смысл.
Теперь вывод этой формулы. Всё очень просто!
Отметим на прямой точку С(x;у), далее построим прямую проходящую через точку А параллельную оси оХ:
Треугольники АВЕ и ACF подобны по острому углу (первый признак подобия прямоугольных треугольников). Из этого следует, что отношения соответственных элементов равны, то есть:
Теперь просто выражаем данные отрезки через разность координат точек:
Конечно, не будет никакой ошибки если вы запишите отношения элементов в другом порядке (главное соблюдать соответствие):
В результате получится одно и тоже уравнение прямой. Это всё!
То есть, как бы не были обозначены сами точки (и их координаты), понимая данную формулу вы всегда найдёте уравнение прямой.
Формулу можно вывести используя свойства векторов, но принцип вывода будет тот же, так как речь будет идти о пропорциональности их координат. В этом случае работает всё то же подобие прямоугольных треугольников. На мой взгляд описанный выше вывод более понятнее )).
Пусть на координатной плоскости построена прямая, проходящая через две заданные точки А(х1;у1) и В(х2;у2). Отметим на прямой произвольную точку С с координатами (x;y). Также обозначим два вектора:
Известно, что у векторов лежащих на параллельных прямых (либо на одной прямой), их соответствующие координаты пропорциональны, то есть:
— записываем равенство отношений соответствующих координат:
Найти уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (2;5) и (7:3).
Можно даже не строить саму прямую. Применяем формулу:
Важно, чтобы вы уловили соответствие, при составлении соотношения. Вы не ошибётесь, если запишите:
Ответ: у=-2/5x+29/5 иди у=-0,4x+5,8
Для того, чтобы убедится, что полученное уравнение найдено верно, обязательно делайте проверку — подставьте в него координаты данных в условии точек. Должны получится верные равенства.
На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.
Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения
Содержание:
Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости
Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.
Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.
При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.
Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:
Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.
При подстановке получаем, что
Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.
Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве
Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки
Рассмотрим, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки, на примерах.
Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; 9) и B(2;-1).
1 способ — составим уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2 способ — составим общее уравнение прямой.
Общее уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0. Подставив координаты точек A и B в уравнение, получаем систему:
Поскольку количество неизвестных больше количества уравнений, система не разрешима. Но можно все переменные выразить через одну. Например, через b.
получим: 5a-10b=0. Отсюда a=2b.
2bx+by-3b=0. Осталось разделить обе части на b:
Общее уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой с угловым коэффициентом:
3 способ — составим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:
Подставим в это уравнение координаты точек A(-3; 9) и B(2;-1)
В школьном курсе чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом. Но самый простой способ — вывести и использовать формулу уравнения прямой, проходящей через две точки.
Если при подстановке координат заданных точек один из знаменателей уравнения
окажется равным нулю, то искомое уравнение получается приравниваем к нулю соответствующего числителя.
Подставляем в уравнение прямой, проходящей через 2 точки, координаты точек C и D:
Составить уравнение прямой, проходящей через точки M (7; 3) и N (7; 11).