Меню

Построить биекцию отрезка 0 1 на всю числовую ось

08. Примеры равномощных множеств

Приведенные выше примеры и теоремы показывают, что установить равномощность различных множеств далеко не просто. В этом параграфе мы рассмотрим примеры построения биекции между различными множествами. Будут приведены примеры доказательств равномощности ряда множеств.

Пример 1. Установить биекцию между отрезком [0, 1] и отрезком [а, в].

Решение. Легко устанавливается биективность линейного отображения x = (в – a)t + a отрезка [0, 1] на отрезок [а, в].

Пример 2. Установить биекцию между интервалом (0, 1) и интервалом (–¥, +¥).

Решение. Легко устанавливается биективность отображения x= ctg(pt) интервала (0, 1) на интервал (–¥, +¥).

Задача. Рассмотреть основные элементарные функции и найти промежутки, на которых они являются биективным отображением.

Пример 3. Построить биекцию между отрезком [0, 1] и интервалом (0, 1).

Решение. Решение этой задачи основано на несчетности рассматриваемых множеств и теореме 4 из параграфа 6. Идея решения состоит в том, что из интервала (0, 1) выделяют некоторое счетное множество А. Затем к нему добавляют две точки <0>и <1>. Вновь полученное множество (обозначим его В Ì [0, 1]), также является счетным. Следовательно, множества А и В равномощны и существует биекция f, отображающая B на A. Построим теперь биекцию отрезка [0, 1] на интервал (0, 1) следующим образом:

Пример 4. Построить биекцию между окружностью единичного радиуса и отрезком [0, 1].

Схема решения. Легко устанавливается биекция между точкой окружности и углом, соответствующим этой точке. Этим получается биекция окружности и полуотрезка [0, 2p). Затем по схеме примера 3 строится биекция полуотрезка [0, 2p) на отрезок [0, 1].

Пример 6. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на отрезке [а, в], конечно или счетно.

Источник

Форум преподавателей «Ваш репетитор»

Вопрос-Ответ → Раздел «Математика, физика, информатика, экономика» → Тема «Как постоить биекцию между квадратом и отрезком?»
1. ShumkinaAA
2. NosikovaUV
3. SimonovaVV2
4. KomarovaJA
5. DrosuAN
6. TrutaevaSA
7. PavlovaNV
8. KarelinIN
9. BolychevtsevaLA
10. HachaturyanNA
11. GoryachevaMV
12. FominyhEV
13. SoldatovDV9
14. Оксана Тісна
15. SilantevaDM
16. KuraevAA
17. ZarifyanSE
18. KataevaMS
19. TihonovaKI4
20. KruglikovBM
21. BraudoAD
22. GarinaMI
23. MiheevaEU
24. ProkopovaLI
25. TatarenkovaON
26. OsipovichNG
27. KoshkinaLB
28. MaksimovaAB
29. KostenkoSA
30. TesterEA2
31. ElumeevaND
32. YanushkinaAU
33. ShaposhnikovaEV3
34. GirshevaAV
35. IlyushinAV2
36. ChumaninaLA
37. LichaginaVS
38. LyashenkoII2
39. FilippovaSG2
40. BlagodarnayaIG
41. TurkinaNA
42. SemenovBS
43. LarionovaAV
44. KorolkovaEA
45. MedvedevFA
46. IvanovaNV13

Здравствуйте, уважаемые преподаватели!

Знаю, что мощность отрезка [0; 1] равно мощности континуума. И знаю, что декартово произведение двух отрезков, то есть единичный квадрат, имеет такую же мощность.
Значит, между этими множествами существует биекция. А как её построить?

Вот что я нашла в книге Р.Курант, Г.Роббинс. Что такое математика? на c.112-113

Павел Борисович, спасибо Вам большое! Я все поняла!

А приведенное выше доказательство из книги (которое я привела) придумал Кантор, как я поняла. Я очень много вчера литературы по этому поводу прочитала.

Да, а я думала над другим способом обойти проблему с «плохими точками». Хотела просто то же самое преобразование — склеивание двух координат точки квадрата, производить в двоичной системе счисления. Там же нет 9-ок=). Но потом поняла, что проблема и в этом случае никуда не исчезает: ведь ( 0.(1) )_2 = ( 1 )_2 = ( 1.(0) )_2

Это просто чтобы Вы не думали, что я только задаю вопросы — а сама ничего не делаю.

Да, согласна. Но мы можем отбросить все последовательности с 1 в периоде в принципе, кроме одной ( 0.(1) )_2, которая как раз и получается при склеивании координат правой верхней вершины квадрата, то есть двух таких же последовательностей.
Тогда у нас все точки отрезка будут образами каких-то точек квадрата.

Источник

Перестановки. Размещения. Сочетания

Первый абзац)

2) Отображение называется сюръективным (или сюръекцией, или отображением наY), если каждый элемент множестваY является образом хотя бы одного элемента множества X, то есть

3)Отображение называется инъекцией (или вложением), если разные элементы множестваXпереводятся в разные элементы множестваY.

4) Функция называется биекцией (и обозначается ), если она:

Биекцию также называют взаимно однозначным отображением (взаимно однозначным соответствием [1] ). Множества, для которых существует биекция, называются равномощными.

Биекция множества на себя является перестановкой элементов этого множества.

Примеры

5)Отношение эквивалентности ( ) на множествеX — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

6)Классом эквивалентностиC(a) элемента a называется подмножество элементов, эквивалентных a. Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если , то C(a) = C(b).

Бинарное отношениеR на множествеX называется отношением порядка, или отношением частичного порядка, если имеют место

Множество X, на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.

Примеры отношений порядка

Второй абзац)

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Перестановки. Размещения. Сочетания

Этот набор называется выборкой объема r из n элементов. Любое подмножество U является выборкой, но не всякая выборка является подмножеством U, так как в выборку один и тот же элемент может входить несколько раз (в отличие от подмножества).

Принцип произведения: если cardA=m, cardB=n, то card (A´B)=m*n. На комбинаторном языке это означает: если объект A может быть выбран m способами, при любом выборе A объект B может быть выбран n способами, то выбор “A и B” может быть осуществлен m*n способами.

Пример 1. A = 10 <различных шоколадок>, B = 5 < различных пачек печенья>. Выбор “A или B” означает, что выбирается что-то одно и способов выбора в этом случае будет 15. Выбор “A и B” означает, что выбирается 1 шоколадка и 1 пачка печенья и различных вариантов для такого выбора будет 50.

Рассмотрим основные способы формирования выборок.

Определение. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Если порядок следования элементов несущественен, то выборка называется неупорядоченной.

Из определения следует, что две упорядоченные выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке, являются различными.

Перестановки. Упорядоченные выборки, объемом n из n элементов, где все элементы различны, называются перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов обозначается Pn.

Доказательство проводится по индукции. Очевидно, если n = 1, то перестановка только одна и P1 = 1!. Пусть для n = k теорема верна и Pk= k!, покажем, что она тогда верна и для n = k+1. Рассмотрим (k+1)- й элемент, будем считать его объектом A, который можно выбрать k+1 способами. Тогда объект B – упорядоченная выборка из оставшихся k элементов по k. B соответствии с индуктивным предположением объект B можно выбрать k! способами. По принципу произведения выбор A и B можно осуществить k!(k+1) = (k+1)! способами. Совместный выбор A и B есть упорядоченная выборка из k + 1 элементов по k + 1.

Пример 3. Сколько существует способов, чтобы расположить на полке 10 различных книг? Ответ: 10!

Пример 6. Кодовый замок состоит из четырех разрядов, в каждом разряде независимо от других могут быть выбраны цифры от 0 до 9. Сколько возможных комбинаций?

Пример 7. Рассмотрим вектор длины m, каждая координата которого может принимать всего 2 значения: 0 или 1. Сколько будет таких векторов?

Это есть выборка, объемом m из двух элементов.Ответ:2 m

Доказательство проведем по индукции по s, т. е. по числу типов элементов. При s = 1 утверждение становится тривиальным: k1 = n, все элементы одного типа и Cn(n) = 1. В качестве базы индукции возьмем s = 2, n = k1 +k2. В этом случаем перестановки с повторениями превращаются в сочетания из n элементов по k1 (или k2): выбираем k1 место, куда помещаем элементы первого типа.

Cn(k1,k2) =

и мы получили требуемую формулу.

Замечание. Числа называются биноминальными коэффициентами. Из этой формулы следует, что

Пример 8. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове “математика”?

Решение. Буква “а” входит 3 раза (k1= 3), буква “м” – 2 раза (k2 = 2), “т” – 2 раза (k3 = 2), буквы “е”, ”к”, ”и” входят по одному разу, отсюда k3 = k4 = k5 = 1.

Сочетания с повторениями. Пусть имеется n типов элементов, каждый тип содержит не менее m одинаковых элементов. Неупорядоченная выборка объемом m из имеющихся элементов (их число ³m´n ) называется сочетанием с повторением. Число сочетаний с повторениями обозначается (n).

Теорема. (n) = .

Задачи.

2. Найти биекцию числовой прямой на интервал (а, в).

3. Найти биекцию полуотрезка [0, 1) на полуось [0, ¥).

4. Построить биекцию отрезка [0, 1] на всю числовую ось.

5. Существует ли непрерывная функция, являющаяся биекцией отрезка [а, в] на всю числовую ось?

6. Существует ли непрерывная функция, являющаяся биекцией отрезка [а, в] на интервал (с, d)?

7. Установить биекцию между открытым и замкнутым единичным кругом.

8. Какова мощность множества всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты?

9. Какова мощность множества всех рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?

10. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, определенной на всей числовой прямой, не более чем счетно.

12. Пусть Е — счетное множество точек на окружности. Можно ли повернуть окружность вокруг центра на некоторый угол j так, чтобы множество Еj, получившееся из Е в результате поворота, не пересекалось с Е?

13. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества Е на прямой больше единицы, то множество Е не более чем счетно.

14. Какова мощность множества всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел?

15. Какова мощность множества всех последовательностей натуральных чисел, не содержащих число 7?

16. Какова мощность множества всех многочленов (с произвольными вещественными коэффициентами)?

17. Какова мощность множества всех отрезков на числовой прямой?

18. На числовой прямой задано множество попарно непересекающихся отрезков. Какова его мощность?

19. Какова мощность множества всех строго возрастающих непрерывных функций на отрезке [а, в]?

20. Доказать, что если А — В равномощно В — А, то А и В равномощны.

21. Доказать, что если А Í В и А равномощно АÈС, то В равномощно ВÈС.

22. Верно или нет утверждение: “Если А равномощно С, В равномощно D, причем А Ê В, С Ê D, то А — В равномощно С — D”?

23. Доказать, что множество всех конечных подмножеств счетного множества — счетно.

24. Какова мощность множества всех конечных и счетных подмножеств множества Е, если Е имеет мощность континуума?

Вариантов же много, можно точно так же тангенсом: .

maxmatem в сообщении #245899 писал(а):

Не совсем понимаю по какому принципу составляются биекции след рода:
1.
4.

Когда у меня возникает нужда в поиске такого отбражения (а случается это примерно раз в два года), я пользую функцию . Для реализации пишу: ; приходится выбрать . Т.е. . Далее замечаю, что , и спокойно можно принять (обоснование понятно?). Чтобы сделать , обнуляю знаменатель: , т.е. , ( ). Далее убеждаюсь, что получл строго монотонную на (0,1) функцию, без всяких выпендрёжек типа разрывов внутри этого интервала. Наконец, выбираю какое-нибудь конкретное , например, , если хочется повыпендриваться, или , если хочется выглядеть человеком обыкновенным.

Источник

Читайте также:  Как построить женщину в майнкрафт
Adblock
detector