Меню

Построить биссектрису угла между двумя пересекающимися прямыми

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Биссектриса угла между прямыми в пространстве

Добрый вечер. Мучаюсь с такой задачей:
Условие задачи:
Написать уравнение биссектрисы острого угла между прямыми и

Как решил решать эту задачу? /
Т.к. мне даны канонические уравнения прямых, то решил записать выражение для угла между этими прямыми по формуле:
.
Потом по формуле косинуса двойного угла нашел два таких же выражения для биссектрисы и соседней прямой, и вот тут застрял. Получилась система из двух уравнений, где нужно найти 3 неизвестных.

Были мысли найти общую точку двух этих прямых, но формулу для ее нахождения в пространстве так и не нашел. Подскажите пожалуйста, как довести пример до конца.

Заслуженный участник

Кстати, биссектриса состоит из точек, одинаково удалённых от обоих прямых.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось NeBotan 22.12.2013, 20:43, всего редактировалось 1 раз.

А как в пространстве связать ее с двумя прямыми?

Решил 4 уравнения. получил точку .

Заслуженный участник

1. Направляющие вектора прямых:

2. Длины направляющих векторов:

3. Привожу второй вектор к длине . Получилось

4. Вычитаю вектора и нахожу направляющий вектор биссектрисы:

5. Получаю каноническое уравнение биссектрисы:

Заслуженный участник

Читайте также:  Как построить дом на склоне горы

Согласен, неаккуратненько получилось.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Надеюсь, тут всё с этим хорошо…

Острый.
Тогда я складываю направляющие вектора прямых, чтобы получить направляющий вектор биссектрисы.
Если произведение меньше нуля, то вычитаю.

Спасибо вам большое! и с Наступающим всех участников форума Новым Годом!

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось svv 22.12.2013, 21:21, всего редактировалось 1 раз.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Составить уравнение биссектрис, образуемых двумя пересекающимися прямыми

Найти угол между пересекающимися прямыми на плоскости
Суть заключается вот в чём Заданы уравнения пересекающихся прямых на плоскости Y=k1x+b1 и y=k2x+b2.

Найти проекцию точки на прямую заданную двумя пересекающимися плоскостями
http://fotohost.by/images/2014/12/11/2014-12-1118-14-09SKRINSOTEKRANA.png.

Угол между двумя прямыми
Вычислить: a)угол между двумя прямыми y=1 и y+2x-2=0. б) расстояние от точки А, лежащей на первой.

Угол между двумя прямыми
День добрый. Мне нужно сделать относительно простую программу. Суть ее заключается в следующем: мне.

Напишите подробно ваш вариант решения, мы проверим.

Добавлено через 1 минуту

Ответ такой. См.картинку.

Нормировать не нужно т.к. длины направляющих векторов равны.

Решение

jogano, спасибо. Упустил минус перед двойкой в первом уравнении второй системы при переписывании и получил не ту точку.
Поставил минус и получил (1;-1;2).

Заказываю контрольные, курсовые, дипломные и любые другие студенческие работы здесь.

Составить уравнения биссектрис углов
Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя данными прямыми 5x+3y-7=0, 9x-15y+7=0.

Найти угол между двумя прямыми
Всем привет! Подскажите, как найти угол между двумя прямыми на плоскости, зная только координаты.

Найти угол между двумя прямыми
Нужно найти угол между двумя прямыми, при условии что заданы координаты точек прямых.

Источник

Уравнение биссектрисы в треугольнике — формула, свойства и решение задач

Треугольник является одной из самых простых фигур, которая часто встречается школьникам в задачах по геометрии. В свою очередь, биссектриса представляет собой важный элемент, характеризующий тот или иной угол. Решение геометрических проблем с участием этих объектов требует наличия определенных знаний. Чтобы уметь составлять по координатам вершин уравнение биссектрисы треугольника, необходимо понимать выражения для прямых линий.

Читайте также:  Как построить вольер для большой собаки своими руками

Прямая на плоскости

Задачи по геометрии могут относиться к одному из двух принципиально отличающихся случаев. Это следующие:

Когда рассматривают треугольники и их элементы, то в ряде ситуаций речь идет именно о двумерном пространстве. В нем всякая прямая линия может быть выражена в виде нескольких математических форм или уравнений. Чаще всего используются следующие типы:

Делящая пополам угол линия

Каждый школьник, который знаком с азами геометрии, знает, что прямая, делящая на две равные части произвольный угол, называется биссектрисой. Этот элемент присутствует для любой фигуры, которая в своем составе содержит какой-либо угол.

Другое определение биссектрисы гласит, что она представляет собой геометрическое расположение точек, которые равноудалены от соответствующих сторон углового объекта. Например, если имеется угол dac, то любая из точек биссектрисы находится на одинаковом расстоянии как от отрезка da, так и от отрезка ac.

Способы построения

В классах общеобразовательных школ рассматривают два основных способа построения биссектрисы. Это следующие:

Имеется еще один метод, который позволяет просто начертить изучаемый линейный элемент. Для его использования нужна линейка со шкалой. С помощью нее следует от вершины угла отмерить два одинаковых отрезка любой длины. Затем соединить концы этих отрезкой, получится равнобедренный треугольник.

В нем любая биссектриса также является высотой и медианой. Поэтому, разделив его ровно пополам линейкой, и соединив полученную точку с вершиной, можно получить требуемую линию.

Основные свойства

Чтобы найти по координатам вершин длину биссектрисы треугольника, следует знать некоторые свойства этого геометрического объекта. Главным из них является существование двух линий, которые делят пополам исходный угол. Нужно понимать, что угол бывает не только внутренний, но и внешний. По сути, оба типа образуются при пересечении двух прямых. Нетрудно доказать, что биссектрисы каждого из них пересекаются всегда под углом 90 °.

Еще одним важным свойством является тот факт, что пересекаются в одной точке биссектрисы треугольника. Она представляет собой центр вписанной в фигуру окружности. Чтобы это доказать, следует вспомнить, что каждая точка биссектрисы равноудалена от соответствующих сторон угла.

Пусть имеется треугольник ABC. У него две биссектрисы пересекаются в точке O. Пусть это будут линии для углов A и B. Расстояние от O до AC должно быть равно таковому от O до AB. С другой стороны, расстояния от O до AB и до BC также одинаковые. Поэтому дистанции от O до BC и до AB также равны, а значит, точка O лежит на биссектрисе угла C и центром вписанной окружности является.

Читайте также:  Как построить самый классный дом в майнкрафт

В треугольнике рассматриваемый геометрический элемент используется часто для решения задач благодаря применению так называемой теоремы биссектрис. Чтобы ее сформулировать максимально простым языком, следует представить, что имеется треугольник произвольного типа ABC. В нем проведена биссектриса AD, где точка D лежит на прямой BC. Тогда справедливо следующее выражение:

Это равенство не является очевидным, однако, оно было известно еще древнегреческим мыслителям. Эту теорему в несколько иной форме можно встретить в знаменитом труде по геометрии Евклида, который называется «Элементы». Доказательство равенства несложно провести с использованием небольших дополнительных построений и применением признаков подобия треугольников.

Наконец, отрезок биссектрисы, который заключен между вершиной и противоположной стороной треугольника, имеет определенную длину. Вычислить ее можно с использованием следующего равенства:

Это равенство прописано для угла A треугольника ABC, в котором противоположная A сторона имеет длину a. Стороны AB и AC имеют длины c и b, соответственно. Буквой p обозначен полупериметр фигуры.

Важно понимать, если нарисовать прямоугольный параллелепипед (или иную фигуру) в пространстве, и построить биссектрису для его граней, она будет представлять собой не прямую, а плоскость.

Уравнение биссектрисы треугольника

Когда известно, как математически записывать выражения для прямых, и что такое биссектриса, и какими свойствами она обладает, можно переходить к непосредственному нахождению ее уравнения.

В общем случае задача решается в результате применения следующей последовательности действий (существуют онлайн-ресурсы, позволяющие решить данную проблему):

Пример решения задачи

Сначала нужно написать уравнения прямых для сторон AB и CB, получается:

Составить уравнения биссектрис можно так:

| y — x + 2 |/(2)^0,5 = | 3*y — 2*x + 6 |/(13)^0,5.

Решение этого уравнения приводит к следующим двум выражениям для взаимно перпендикулярных биссектрис:

Чтобы определить, какая из двух прямых является искомой для треугольника заданного, следует точку пересечения каждой из них со стороной AC найти. Уравнение для AC имеет вид:

Подставляя его в каждое из выражений для биссектрис, можно получить две точки пересечения:

При этом длина основания AC составляет 2,236 единицы через единичный вектор. Расстояние от точек D1 и D2 до A, C равно:

Видно, что точка пересечения второй прямой D2 лежит между A и C, поэтому соответствующее ей уравнение биссектрисы является ответом на задачу. Ее длину можно вычислить по формуле для модуля вектора BD2:

BD2 = 2,014 единицы.

Таким образом, для определения в треугольнике биссектрисы уравнения по координатам следует уметь находить векторную форму выражений для прямой по координатам двух точек. Также нужно знать свойства делящей пополам угол линии.

Источник

Adblock
detector