Меню

Построить гиперболу со смещенным центром

Гипербола

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой \(y=\frac\), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции \(y=\frac\) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=\frac<1>-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Читайте также:  Построить боулинг в частном доме

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.



5. Гипербола нечетная функция.

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment

Источник

Гипербола

Эллипс

Особенности уравнения окружности

1 Оно обязательно содержит квадраты переменных с одинаковыми знаками и коэффициентами.

2 Оно не содержит члена с произведением координат xy.

По этим особенностям уравнение окружности можно отличить от других уравнений кривых II порядка.

Пример.Пусть задано уравнение .

Выяснить, какую линию II порядка оно определяет.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (она должна быть больше расстояния между фокусами) (рисунок 1).

рис.1

По определению эллипса имеем:

. (7.3)

Преобразуя уравнение (7.3), получим каноническое уравнение эллипса:

, (7.4)

где— это полуоси эллипса, причем откладывается на оси , а на оси .— большая ось, на которой лежат фокусы.

— малая ось эллипса.

Эллипс – симметричная кривая относительно осей координат.

Читайте также:  Построить дом дешево смета

Большая ось эллипса является фокальной, т.е. на этой оси расположены его фокусы, и он всегда вытянут вдоль фокальной оси.

Если большая ось эллипса , то и фокусы его на оси ординат (рисунок 2).

Параметры эллипса a, b и c связаны между собой. Зная два из них, можно всегда найти третий. В зависимости от фокальной оси формулы, связывающие параметры меняются. Если фокусы эллипса расположены на оси OX, то выполняется равенство (рисунок 1)

Если фокусы на оси OY (рисунок 2), то: .

Самым большим параметром в этом случае является b.

Уравнение эллипса имеет свои особенности, по которым его можно отличать от уравнений других линий II порядка.

, (7.5)

где — координаты центра.

Опр.7.2 Эксцентриситетом эллипса называется отношение межфокусного расстояния к

длине большей оси.

Эксцентриситет эллипса всегда положителен, но меньше 1, т.к. , т.е. .

Он характеризует форму эллипса. Чем больше эксцентриситет, тем больше вытянут эллипс вдоль фокальной оси (т.е. сжат вдоль оси OY). Если , если , то эллипс вырождается в прямую линию.

Если , то эллипс превращается в окружность.

ЗадачаДано уравнение эллипса . При- вести к каноническому.

Опр.7.3 Гиперболойназывается геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (она должна быть положительной и меньше расстояния между фокусами).

Если обозначить постоянную величину через 2а, а расстояние между фокусами через 2с и выбрать систему так, чтобы ось OX совпала с фокальной осью , а ось ординат проходила бы через середину отрезка , тогда каноническое уравнение гиперболы примет вид:

, (7.6)

где а и b — полуоси гиперболы; а расположена на оси ОХ, а b по оси OY (рисунок 4).

Ось, на которой расположены фокусы гиперболы, называется действительной, на ней расположены вершины гиперболы – т. А1 и А2. В этих точках гипербола пересекает действительную ось А1 (-а;0), А2 (а;0).

Читайте также:  Построить дом за материнский капитал под ключ в москве

Вторая ось гиперболы, с которой она не имеет общих точек, называется мнимой осью.

Если фокусы гиперболы расположены на оси OY, то уравнение гиперболы имеет вид:

. (7.7)

Числовое значение самой оси роли не играет, в отличие от эллипса.

Связь между параметрами у гиперболы постоянная, т.е. не зависит от фокальной оси. Межфокусное расстояние является самым большим параметром

.

Опр.7.4 Эксцентриситетом гиперболы называется отношение межфокусного

расстояния к длине действительной оси.

, если фокальная ось OX.

, если фокусы на оси OY.

Эксцентриситет гиперболы всегда положителен и больше 1, так как c>a и c>b, т.е. 1.

Большую роль у гиперболы играют асимптоты, так как они направляют ветви гиперболы.

Уравнения асимптот не зависят от фокальной оси и имеют вид

. (7.8)

Построение гиперболы начинают с асимптот. Если построить прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и равными 2а и 2b, то его диагонали будут асимптотами гиперболы (рисунки 3, 4).

Если гипербола смещена в системе координат, то ее каноническое уравнение имеет вид

, (7.9)

где — координаты центра гиперболы.

Дата добавления: 2014-01-07 ; Просмотров: 1215 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Adblock
detector