Меню

Построить горизонтальную и фронтальную проекции треугольника авс

Проекции треугольника, многоугольника и круга

Для примера изобразим прямоугольник ABCD без осей проекций (рис. 115, а). Расстояние горизонтальной и профильной проекций от фронтальной проекции выберем произвольно. Встает вопрос о том, можно ли теперь «восстановить» положение осей, а следовательно, и плоскостей проекций. Для построения постоянной прямой чертежа (рис. 115, б) используем горизонтальную и профильную проекции любой точки, например точки А. Через точку А1 проведем горизонтальную линию связи, а через точку А3 — вертикальную линию связи. Проведенные прямые пересекутся между собой в точке А, через которую проведем постоянную прямую k123 под углом 45 градусов к горизонтальной линии связи. Очевидно, что постоянная прямая будет единственной. Этого нельзя сказать о системе координатных плоскостей, которых может быть много. Действительно, одну из систем можно определить, приняв горизонтально-вертикальную линию связи за направление осей проекций x12 и z23. Точка A будет для этой системы началом координат O123. Плоскость прямоугольника будет прикасаться своей стороной AD к фронтальной плоскости проекции П2. Вторую систему можно получить, если провести координатные оси х’13 и z’23 через точку О’123, являющуюся точкой пересечения постоянной прямой с линией D2D3. В новой системе прямоугольник будет стоять на горизонтальной плоскости проекций П1, пересекаясь с ней по прямой DC. В промежутке между осями первых двух систем можно провести еще большое количество осей, которые определят новые системы плоскостей. Одну из таких систем определяют оси х212 и z223, пересекающиеся между собой в точке О1, являющейся началом координат третьей системы плоскостей. В последнем случае прямоугольник отстоит от всех трех плоскостей проекций.

Итак, найдя постоянную прямую чертежа, мы можем построить одну из возможных систем плоскостей проекций. Очевидно, что начало координат любой системы должно находиться на постоянной прямой чертежа. Отсюда следует, что постоянная прямая чертежа является геометрическим местом точек, фиксирующих начало координат всех возможных систем плоскостей проекций П2, П3.

При построении проекций четырехугольника общего положения нельзя взять четыре произвольные точки. Как только мы возьмем три точки, плоскость определится, и четвертую точку надо строить при условии, чтобы она принадлежала этой плоскости. Практически пользуются диагоналями проекций четырехугольника (рис. 115, в).

Фронтальную проекцию четырехугольника ABCD Рис. 116 строим произвольно; также произвольно строим горизонтальные проекции трех точек А1, В1 и С1 треугольника A1B1C1. Для построения горизонтальной проекции D1 точки D проводим фронтальные проекции А2С2 и D2B2 диагоналей четырехугольника.

Проекции диагоналей пересекутся между собой в точке Е2. Находим горизонтальную проекцию E2 этой точки на горизонтальной проекции А1С1 будущей диагонали АС; соединяем точки В1 и E1 и на продолжении этой линии находим точку D1 на вертикальной линии связи D2D1. При таком построении четырехугольник ABCD будет плоским. Пользуясь вспомогательными прямыми, пересекающимися со сторонами четырехугольника, можно построить проекции пятиугольника, шестиугольника и т. д.

Читайте также:  Построить маршрут на грузовом автомобиле по москве

Построим проекции правильного шестиугольника, вписанного в окружность, при горизонтальном их расположении (рис, 116, а). Построение начинаем с проведения окружности; затем вписываем в нее правильный шестиугольник А1В1C1D1E1F1.

Фронтальная проекция шестиугольника изобразится прямой горизонтально расположенной линией A2D2, точки B2F2 и С2Е2, принадлежащие этой линии, попарно совпадут.

В практике нередко приходится строить наклонно расположенные многоугольники, и особенно, окружности. Придадим плоскостям шестиугольника и круга наклонное положение, т. е. расположим их во фронтально-проецирующей плоскости т (рис. 116, б). При таком расположении плоскости прямые FB и ЕС шестиугольника и диаметр HG круга останутся фронтально-проецирующими прямыми и спроецируются на плоскость П1 в истинную величину. Наоборот, прямые ВС, AD и FE спроецируются с искажением, зависящим от величины угла наклона плоскости т. В связи с этим горизонтальная проекция шестиугольника не будет являться правильным шестиугольником, а горизонтальная проекция круга будет проецироваться эллипсом, большая ось которого H1G1, малая — A1D1

Аналитический портал Ua-News Главные новости Украины: политика, интернет, шоу-BIZ, спорт, столица.

Источник

Домашнее задание по начертательной геометрии

Задача 1.1

Построить проекции равностороннего треугольника АВС со стороной ВС на прямой МN.
Определить углы наклона высоты и плоскости треугольника к плоскостям проекций.

1. Для определения положения горизонтальной проекции А’ точки А откладываем от начала координат в положительном направлении оси х (от точки О влево) значении x = 60 мм и определяем точку Ах, в положительном направлении оси y (от точки О вниз) откладывает значение y = 105 мм и определяем положение точки Аy.
Пересечения перпендикуляров, восставленных из точек Ах и Аy к соответствующим осям х и y, укажет положение горизонтальной проекции А’ точки А.
Фронтальная А» и горизонтальная А’ проекции точки А принадлежат одному перпендикуляру к оси х, фронтальная проекция от оси х удалена на величину аппликаты z (по заданию z = 70). Для определения положения фронтальной проекции А» точки A откладываем от точки Ах на перпендикуляре к оси х значение аппликаты z = 70 мм.
Аналогично находим положение горизонтальных и фронтальных проекций точек М и N. На рис. 1 показаны горизонтальные и фронтальные проекции точек A, M, N, а также отрезка прямой, ограниченного точками М и N.
Вспомогательные линии графических посторенний изображены зеленым цветом.

Прямая h – горизонталь, так как фронтальная проекция прямой параллельна оси х. Горизонтальная проекция М’N’ отрезка МN горизонтали равна самому отрезку: М’N’ = МN.
Для построения высоты треугольника ABC через точку A проводим прямую l пересекающую горизонталь h под прямым углом. Так как одна из сторон прямого угла параллельна плоскости П1, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения. Поэтому через точку А’ проводим горизонтальную проекцию прямой l. В месте пересечения отмечаем точку K’. Отрезок А’K’ – горизонтальная проекция высоты треугольника ABC. Находим точку , через точки А» и проводим прямую, получаем отрезок А»K» являющийся фронтальной проекцией высоты треугольника ABC.

Читайте также:  Пошагово как построить продольный профиль в автокад цивил 3д

Построим натуральную величину высоты АK треугольника ABC. Натуральную величину отрезка прямой общего положения можно получить несколькими способами, рассмотрим два из них.

Способ 1. Построение с помощью прямоугольного треугольника

Для графического определения на эпюре Монжа длины отрезка достаточно построить прямоугольный треугольник, взяв за его один катет горизонтальную (фронтальную) проекцию отрезка, а за другой катет разность удаления концов отрезка от горизонтальной (фронтальной) проекции.
Восставим перпендикуляр из точки А» к отрезку М»N». Отрезок А»1 является разностью удаления концов отрезка АK от горизонтальной проекции. Из точки А’ под прямым откладываем отрезок А’А равный по длине отрезку А»1. Отрезок K’А натуральная величина высоты АK треугольника ABC.

Способ 2. Вращение вокруг оси перпендикулярной плоскости проекци

Отрезок проецируется на плоскость П1 (или П2) без искажения лишь в том случае, когда он параллелен плоскости П1 (или П2).
Перевод отрезка из общего положения в частное (параллельное плоскости проекции) можно осуществить, повернув его вокруг оси перпендикулярной плоскости проекции.
Повернем отрезок АK вокруг оси i перпендикулярной плоскости П2, переведя его в положение параллельное плоскости П1. Точка А изменила свое положение, новое положение точки А – это точка А1. Положение точки K осталось без изменения K = K1. Проецируем точку А1 на плоскость П1, получаем точку A’1. Отрезок A’1K’1 натуральная величина высоты АK треугольника ABC.

Выбор конкретного способа построения натуральной величины отрезка зависит от типа решаемой задачи и не ограничивается представленными выше способами. Далее для решения задачи будет рассматриваться способ 1.
Для построения треугольника ABC воспользуемся способом вращения вокруг оси параллельной плоскости проекции (вращение вокруг линии уровня). Путем такого вращения можно плоскость, которой принадлежит фигура повернуть в положение, параллельное плоскости проекции.
Вращая плоскость треугольника ABC вокруг горизонтали h, можно перевести ее в положение параллельное плоскости П1 и получить неискаженной вид горизонтальной проекции.
Точка А при вращении вокруг горизонтали h будет перемещаться по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси вращения h. Центр вращения находится в точке K на пересечении оси вращения h с перпендикулярной ей плоскостью. Новое, после поворота, положение точки A’1 находится в месте пересечения дуги окружности, проведенной из горизонтальной проекции центра вращения K’ радиусом, равным длине K’А (натуральная величина высоты АK) с горизонтальным следом плоскости перпендикулярной оси вращения. Отрезок A’1K’ – горизонтальная проекция высоты треугольника ABC параллельного плоскости проекции.
Из свойств равностороннего треугольника имеем: «Высота, медиана и биссектриса, проведенные к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают».
Из точки A’1 под углом 30° к отрезку A’1K’ проводим линию до пересечения с отрезком М’N’ получаем точку B’1, аналогично получаем точку C’1.

Читайте также:  Как построить усеченный треугольник

Положение точек B и C при вращении треугольника ABC осталось без изменения, так как эти точки находятся на оси вращения h, следовательно. B’1 = B’ и C’1 = C’.
Строим горизонтальную А’B’C’ проекцию треугольника ABC проводя отрезки линий от точки А’ к точке B’ и от точки А’ к точке C’.
По горизонтальной проекции треугольника ABC строим фронтальную проекцию А»B»C».

2. Определим углы наклона высоты AK треугольника ABC к плоскостям проекции.
Углом между прямой не перпендикулярной плоскости и плоскостью называется угол между этой прямой и ее прямоугольной проекцией на данную плоскость.
Угол наклона высоты AK к горизонтальной плоскости П1 равен углу ∠А’K’А = 37°.
Для определения угла наклона высоты AK к фронтальной плоскости через точку K’ проводим горизонтальную проекцию f’1 фронтали f1. Из точки А’ восставляем перпендикуляр к горизонтальной проекции фронтали. Отрезок А’2 является разностью удаления концов отрезка АK от фронтальной проекции.
Из точки А» под прямым углом к отрезку А»K» откладываем отрезок А»А равный по длине отрезку А’2. Отрезок K»А натуральная величина высоты АK треугольника ABC. Угол наклона высоты AK к фронтальной плоскости П2 равен углу ∠А»K»А = 51°.

3. Определим углы наклона плоскости треугольника АВС к плоскостям проецирования.
Мерой угла между двумя плоскостями служит линейный угол, образованный двумя прямыми – сечениями граней этого угла плоскостью перпендикулярной к их ребру.
Угол наклона треугольника ABC к горизонтальной плоскости проекции равен ранее вычисленному углу ∠А’K’А = 37°.
Для определения угла наклона плоскости треугольника ABC к фронтальной плоскости через точку С’ проводим горизонтальную проекцию f’2 фронтали f2. На пересечении горизонтальной проекции фронтали с отрезком А’B’ отметим точку 3′. На фронтальной проекции отметим точку 3″. Через точки С» и 3″ проводим фронтальную проекцию 2 фронтали f2.
Из точки А’ восставляем перпендикуляр к горизонтальной проекции фронтали, отмечаем точку 4.
Из точки А» восставляем перпендикуляр к фронтальной проекции фронтали, отмечаем точку . Из точки А» под прямым углом к отрезку А»H» откладываем отрезок А»А равный по длине отрезку А’4.
Угол наклона плоскости треугольника ABC к фронтальной плоскости проекции равен углу ∠А»H»А = 55°.

Рекомендуемая литература:
1. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии: Учеб. пособие/Под. ред. Ю.Б. Иванова. – 23-е изд., перераб. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 272 с.
2. Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учебник для втузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1983. – 240 с., ил.

Источник

Adblock
detector