Меню

Построить горизонтальную и фронтальную проекцию отрезка

Проецирование прямой на три плоскости проекции

Проекции прямой

Лекция 3

Прямую можно рассматривать как результат пересечения двух плоскостей (рис 3.1, 3.2.).

Прямая в пространстве безгранична. Ограниченная часть прямой называется отрезком.

Проецирование прямой сводится к построению проекций двух произвольных ее точек, так как две точки полностью определяют положение прямой в пространстве. Опустив из точки А и В (рис. 3.2.) перпендикуляры до пересечения с плоскостью П1, определяют их ух горизонтальные проекции А1 и В1. Отрезок А1В1 – горизонтальная проекция прямой АВ. Аналогичный результат получают, проведя перпендикуляры к П1 из произвольных точек прямой АВ. Совокупность этих перпендикуляров (проецирующих лучей) образует горизонтально проецирующую плоскость a, которая пересекается с плоскостью П1 по прямой А1В1 – горизонтальной проекции прямой АВ. Исходя из тех же соображений, получают фронтальную проекцию А2В2 прямой АВ (рис 3.2).

Одна проекция прямой не определяет ее положение в пространстве. Действительно, отрезок А1В1 (рис. 3.1.) может быть проекцией произвольного отрезка, лежащего в проецирующей плоскости a. Положение прямой в пространстве однозначно определяется совокупностью двух ее проекций. Восставляя из точки горизонтальной А1В1 и фронтальной П1 и П2, получают две проецирующие плоскости a и b, пересекающиеся по единственной прямой АВ.

На комплексном чертеже (рис 3.3) изображен отрезок АВ прямой общего положения, где А1В1 – горизонтальная, А2В2 – фронтальная и А3В3 – профильная проекции отрезка. Для построения третьей проекции отрезка. Для построения третьей проекции отрезка прямой по двум данным можно использовать те же способы, что и для построения третьей проекции точки: проекционный (рис 3.4.), координатный (рис 3.5.) и с использованием постоянной прямой чертежа (рис. 3.6.).

3.2. Положение прямой относительно плоскости проекций.

На рис 2.5. изображен параллелепипед со срезанной вершиной и произвольная треугольная пирамида. Ребра параллелепипеда и пирамиды занимают различные положения в пространстве относительно плоскостей проекций. Чтобы строить и читать чертежи, нужно уметь анализировать положения прямой. По своему положению в пространстве прямые распределяются на прямые частного и прямые общего положения.

Прямые частного положения могут быть проецирующими и прямыми уровня.

Проецирующими называются прямые, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций, т.е. параллельные двум другим плоскостям: для П1, называется горизонтально проецирующей прямой; ее горизонтальная проекция А1В1 – точка, а фронтальная и профильная проекции – прямые, параллельные оси Оz. Прямая CD (рис. 3.7.) перпендикулярная к плоскости проекций П2, называется фронтально проецирующей прямой; ее фронтальная проекция С2D2 – точка, а горизонтальная и профильная проекции – прямые, параллельные оси Оу. Прямая MN (рис. 2.8.) перпендикулярная к плоскости проекций П3, называется профильно проецирующей прямой; ее профильная проекция М3N3 – точка, а горизонтальная и фронтальная проекции – прямые, параллельные оси Ох.

Следовательно, на одной из плоскостей проекций проецирующая прямая изображается в виде точки, а на двух других – в виде отрезков занимающих горизонтальное или вертикальное положение, величина которых равна натуральной величине самого отрезка прямой.

Прямыми уровня называются прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Прямая АВ (рис. 3.9.), параллельная горизонтальной плоскости проекций П1, называется горизонтальной прямой, или, сокращенно, горизонталью. Ее фронтальная проекция А2В2 параллельна оси проекций Ох, а горизонтальная А1В1 равна натуральной величине отрезка прямой (А1В1 = АВ). Угол b между горизонтальной проекцией А1В1 и осью Ох равен натуральной величине угла наклона прямой АВ к плоскости проекций П2.

Читайте также:  Когда построят вышку цифрового тв в ступино

Прямая CD (рис. 3.10.) параллельная фронтальной плоскости проекций П2, называется фронтальной прямой, или, сокращенно, фронталью. Ее горизонтальная проекция C1D1 параллельна оси Ох, а фронтальная С2D2 равна натуральной величине отрезка прямой (C2D2 = CD). Угол a между фронтальной проекцией С2D2 и осью Ох равен действительной величине угла наклона прямой к плоскости проекций П1.

Прямая MN (рис. 3.11.) параллельная профильной плоскости проекций П3, называется профильной прямой. Ее фронтальная M2N2 и горизонтальная M1N1 проекции перпендикулярны к оси Ох, а профильная проекция равна натуральной величине отрезка (M3N3 = MN). Углы a и b между профильной проекцией и осями Оу3 и Оz равны действительной величине углов наклона прямой к плоскости проекций П1 и П2.

Следовательно, прямые уровня на одну из плоскостей проекций проецируются в натуральную величину, а на две другие – в вид отрезков уменьшенной величины, занимающих на чертеже вертикальное или горизонтальное положение. По чертежу можно определить величину углов наклона этих прямых к плоскостям проекций.

Если прямая лежит в плоскости проекций, то одна ее проекция (одноименная) совпадает с самой прямой, а две другие – с осями проекций. Например, прямая АВ (рис.3.12) лежит в плоскости П1. Ее горизонтальная проекция А1В1 сливается с прямой АВ, а фронтальная А2В2 – с осью Ох. Подобную прямую называют нулевой горизонталью, так как высота ее точек (координата z) равна нулю.

Прямой общего положения называют прямую, наклонную ко всем плоскостям проекций. Ее проекции образуют с осями Ох, Оу и Оz острые или тупые углы, т.е. ни одна из ее проекций не параллельна и не перпендикулярна к осям. Величина проекций прямой общего положения всегда меньше натуральной величины самого отрезка. Непосредственно по чертежу без дополнительных построений нельзя определить действительную величину прямой и угол ее наклона к плоскостям проекций.

Если точка лежит на прямой, то проекции точки находятся на одноименных проекциях прямой и на общей линии связи.

На рис. 3.13. точка С лежит на прямой АВ, так как ее проекции С1 и С2 находятся соответственно на горизонтальной А1В1 и на фронтальной А2В2 проекциях прямой. Точки М и N не принадлежат прямой, так как одна из проекций каждой точки не находится на одноименной с ней проекции прямой.

Проекции точки делят проекции прямой в таком же отношении, в каком сама точка делит отрезок прямой, т.е. Пользуясь этим правилом, можно разделить данный отрезок прямой в нужном соотношении. Например, на рис. 3.14. прямая EF разделена точкой К в отношении 3:5. Деление выполнено способом, известным из геометрического черчения.

Дата добавления: 2014-12-16 ; Просмотров: 1800 ; Нарушение авторских прав?

Читайте также:  Как построить компанию по продажам

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Проекции прямых линий

По своему расположению в пространстве относительно плоскостей проекций прямые линии разделяют на прямые общего положения, уровня и проецирующие.

2.2.1. Прямые общего положения.Это прямые, не параллельные и не перпендикулярные к плоскостям проекций. Проекции А1В1, А2В2 и А3В3 отрезка АВ прямой АВ общего положения (рис. 2.18, а) наклонены под острыми углами к осям x12, y13 и z23. Длины проекций отрезков этой прямой всегда меньше самого отрезка. Трехкартинный комплексный чертеж отрезка прямой общего положения, построенный по двум точкам А и В, показан на рис.2.18, б.

1) горизонтальная уровня a (горизонталь), параллельная П1 (прямая a с отрезком AB на ней на рис. 2.19, а, б);

2) фронтальная уровня (фронталь), параллельная П2 (прямая b c отрезком CD на ней на рис. 2.20, а);

3) профильная уровня, параллельная П3 (прямая с с отрезком ЕF на ней на рис. 2.20, б). На рис. 2.20 наглядные изображения прямых b и c относительно плоскостей проекций не показаны.

Углы наклона прямых уровня a, b и c к плоскостям проекций П1, П2 и П3 принято обозначать соответственно α, β и γ (на рис. 2.19 углы α, β и γ не показаны).

2.2.3. Проецирующие прямые.Это прямые, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций и параллельные двум другим. Следовательно, имеем три вида проецирующих прямых:

1) горизонтально-проецирующая прямая, перпендикулярная П1 (прямая а с отрезком AB на ней на рис. 2.21, а);

2) фронтально-проецирующая прямая, перпендикулярная П2 (прямая b с отрезком CD на ней на рис. 2.21, б);

3) профильно-проецирующая прямая, перпендикулярная П3 (прямая c с отрезком EF на ней на рис. 2.21, в).

На рис. 2.21 в скобки заключены проекции невидимых точек. Вопрос определения видимости точек на проекциях подробнее будет рассмотрен ниже в п. «Скрещивающиеся прямые».

У проецирующих прямых одноименные проекции представляют собой точки, что вытекает из существа проецирующей прямой, вдоль которой ведется проецирование.

Каждая разноименная проекция проецирующей прямой перпендикулярна оси, отделяющей ее от одноименной проекции, а разноимённая проекция отрезка, расположенного на прямой уровня, является натуральной величиной этого отрезка.

2.2.4. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения.Натуральную величину прямой частного положения можно сразу определить на комплексном чертеже этой прямой.

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения можно применить рассмотренный ранее (см. п. 2.1.2) способ замены плоскостей проекций. На рис.2.22 показано определение натуральной величины (Н.В.) отрезка AB прямой общего положения и определение углов наклона его к Π1 ( угол α) и к Π2 ( угол β) этим способом.

Дополнительная плоскость Π4проведена параллельноAB (х14||A1B1). Прямая AB преобразована в положение фронтали, следовательно A4B4 – натуральная величина AB.

Проведя дополнительную плоскостьΠ5||AB (х25||A2B2), также можно определить натуральную величинуAB. A5B5 – натуральная величинаAB. Прямая AB в системе Π2Π5 стала горизонталью.

Читайте также:  Построить словообразовательную цепочку слова прокатился

На рис.2.23 показано определение натуральной величины ABметодом треугольника.Натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а другим – алгебраическая разность расстояний его концов от плоскости Π1 (ΔZ).

2.2.5. Взаимное положение прямых.Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекаться и скрещиваться.

Параллельные прямые. Из свойств параллельных проекций следует, что если прямые в пространстве параллельны, то все три пары их одноименных проекций параллельны. Очевидно и обратное положение: если одноименные проекции прямых параллельны, то прямые в пространстве параллельны.

Для определения параллельности прямых в общем случае достаточно параллельности двух пар одноименных проекций. В случае, если определяется параллельность линий уровня, то одной из двух пар параллельных проекций должна быть проекция на одноименную плоскость.

На рис. 2.24 показаны проекции параллельных прямых a и b общего положения, где a1║ b1 и a2║ b2. На рис. 2.25 показаны две горизонтали c и d. У горизонталей фронтальные и профильные проекции всегда параллельны осям, отделяющих их от одноименных горизонтальных проекций, т. е. c2d2x12 и c3d3y3. Но горизонтальные их проекции не параллельны, т. е. c1d1. Следовательно, прямые c и d не параллельны.

Пересекающиеся прямые. Две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку. Из свойств параллельных проекций известно, что если точка лежит на прямой, то ее проекции лежат на проекциях прямой. Если точка лежит и на той и на другой прямой, т. е. в точке пересечения прямых, то ее проекция должна лежать сразу на двух одноименных проекциях прямых, а следовательно, в точке пересечения проекций прямых.

Так, если отрезки AB и CD двух прямых пересекаются в точке K, то проекции отрезков A1B1 и C1D1 пересекаются в точке K1, являющейся проекцией точки K (рис. 2.26, а). Поэтому, если одноименные проекции прямых пересекаются в точках, лежащих на одной линии проекционной связи, то прямые в пространстве пересекаются (рис. 2.26, б).

Для определения того, пересекаются прямые или нет, достаточно, чтобы это условие выполнялось для двух каких-либо проекций. Исключение составляет случай, когда одна из пересекающихся прямых является профильной уровня. В этом случае для проверки пересечения прямых необходимо построение профильной проекции.

Пусть через точку A необходимо провести горизонталь b, пересекающую прямую a (рис. 2.27, а). Для этого через точку A2 проводим b2║ x12 (этап 1) до пересечения с a2 в точке K2 (рис.2.27, б). Далее с помощью линии проекционной связи на a1 находим точку K1 (этап 2) и, соединяя точки A1 и K1 (этап 3), получаем b1.

Скрещивающиеся прямые.Скрещивающиеся прямые a и b не лежат в одной плоскости и, следовательно, не параллельны и не имеют общих точек (рис.2.28, а). Поэтому, если прямые скрещивающиеся, то хотя бы одна пара их одноименных проекций не параллельна, и точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии проекционной связи (рис. 2.28, б).

Каждая такая точка пересечения является проекцией двух точек, принадлежащих прямым; эти две точки лежат на одном проецирующем луче и называются конкурирующими.

K1≡(L1)

Источник

Adblock
detector