Меню

Построить граф состояний системы массового обслуживания

Теория массового обслуживания

4. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

4.1. Классификация систем массового обслуживания и их показатели эффективности

Системы, в которых в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства для обслуживания этих заявок, называются системами массового обслуживания (СМО).

СМО могут быть классифицированы по признаку организации обслуживания следующим образом:

Системы с отказами не имеют очередей.

Системы с ожиданием имеют очереди.

Заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты:

— покидает систему с отказами;

— становится в очередь на обслуживание в системах с ожиданием при неограниченной очереди или на свободное место при ограниченной очереди;

— покидает систему с ожиданием при ограниченной очереди, если в этой очереди нет свободного места.

В качестве меры эффективности экономической СМО рассматривают сумму потерь времени:

— на ожидание в очереди;

— на простои каналов обслуживания.

Для всех видов СМО используются следующие показатели эффективности:

Показатели эффективности СМО рассчитываются по формулам из специальных справочников (таблиц). Исходными данными для таких расчетов являются результаты моделирования СМО.

4.2. Моделирование системы массового обслуживания:

основ­ные параметры, граф состояний

При всем многообразии СМО они имеют общие черты, которые позволяют унифицировать их моделирование для нахождения наиболее эффективных вариантов организации таких систем.

Для моделирования СМО необходимо иметь следующие исходные данные:

Результатами моделирования СМО являются вероятности ее состояний, через которые выражаются все показатели ее эффективности.

Основные параметры для моделирования СМО включают:

— характеристики входящего потока заявок на обслуживание;

— характеристики механизма обслуживания.

Рассмотрим характеристики потока заявок.

Интенсивность потока заявок — среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.

Потоки заявок бывают простейшими и отличными от простейших.

Для простейших потоков заявок используются модели СМО.

Простейшим, или пуассоновским называется поток, являющийся стационарным, одинарным и в нем отсутствуют последействия.

Стационарность означает неизменность интенсивности поступления заявок с течением времени.

Одинарным поток заявок является в том случае, когда за малый промежуток времени вероятность поступления более чем одной заявки близка к нулю.

Отсутствие последействия заключается в том, что число заявок, поступивших в СМО за один интервал времени, не влияет на количество заявок, полученных за другой интервал времени.

Для отличных от простейших потоков заявок используются имитационные модели.

Рассмотрим характеристики механизма обслуживания.

Механизм обслуживания характеризуется:

числом каналов обслуживания;

— производительностью канала, или интенсивностью обслуживания — средним числом заявок, обслуживаемых одним каналом в единицу времени;

— дисциплиной очереди (например, объемом очереди , порядком отбора из очереди в механизм обслуживания и т. п.).

Граф состояний описывает функционирование системы обслуживания как переходы из одного состояния в другое под действием потока заявок и их обслуживания.

Для построения графа состояний СМО необходимо:

— составить перечень всех возможных состояний СМО;

— представить перечисленные состояния графически и отобразить возможные переходы между ними стрелками;

— взвесить отображенные стрелки, т. е. приписать им числовые значения интенсивностей переходов, определяемые интенсивностью потока заявок и интенсивностью их обслуживания.

4.3. Вычисление вероятностей состояний

системы массового обслуживания


Граф состояний СМО со схемой «гибели и рождения» представляет собой линейную цепочку, где каждое из средних состояний имеет прямую и обратную связь с каждым из соседних состояний, а крайние состояния только с одним соседним:

Число состояний в графе на единицу больше, чем суммарное число каналов обслуживания и мест в очереди.

СМО может быть в любом из своих возможных состояний, поэтому ожидаемая интенсивность выхода из какого-либо состояния равна ожидаемой интенсивности входа системы в это состояние. Отсюда система уравнений для определения вероятностей состояний при простейших потоках будет иметь вид:

где — вероятность того, что система находится в состоянии

— интенсивность перехода, или среднее число переходов системы в единицу времени из состояния в состояние .

Используя эту систему уравнений, а также уравнение

,

вероятность любого -ого состояния можно вычислить по следующему общему правилу:

вероятность нулевого состояния рассчитывается как

Выводы по четвертому разделу

Системы массового обслуживания имеют один или несколько каналов обслуживания и могут иметь ограниченную или неограниченную очередь (системы с ожиданием) заявок на обслуживание, не иметь очереди (системы с отказами). Заявки на обслуживание возникают в случайные моменты времени. Системы массового обслуживания характеризуются следующими показателями эффективности: относительная пропускная способность, абсолютная пропускная способность, вероятность отказа, среднее число занятых каналов.

Моделирование систем массового обслуживания осуществляется для нахождения наиболее эффективных вариантов их организации и предполагает следующие исходные данные для этого: основные параметры, граф состояний. К таким данным относятся следующие: интенсивность потока заявок, количество каналов обслуживания, интенсивность обслуживания и объем очереди. Число состояний в графе на единицу больше, чем сумма числа каналов обслуживания и мест в очереди.

Читайте также:  Как в яндексе построить маршрут через несколько точек

Вычисление вероятностей состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения» осуществляется по общему правилу.

Вопросы для самопроверки

— Какие системы называются системами массового обслуживания?

— Как классифицируются системы массового обслуживания по признаку их организации?

— Какие системы массового обслуживания называются системами с отказами, а какие – с ожиданием?

— Что происходит с заявкой, поступившей в момент времени, когда все каналы обслуживания заняты?

— Что рассматривают в качестве меры эффективности экономической системы массового обслуживания?

— Какие используются показатели эффективности системы массового обслуживания?

— Что служит исходными данными для расчетов показателей эффективности систем массового обслуживания?

— Какие исходные данные необходимы для моделирования систем массового обслуживания?

— Через какие результаты моделирования системы массового обслуживания выражают все показатели ее эффективности?

— Что включают основные параметры для моделирования систем массового обслуживания?

— Чем характеризуются потоки заявок на обслуживание?

— Чем характеризуются механизмы обслуживания?

— Что описывает граф состояний системы массового обслуживания

— Что необходимо для построения графа состояний системы массового обслуживания?

— Что представляет собой граф состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения»?

— Чему равно число состояний в графе состояний системы массового обслуживания?

— Какой вид имеет система уравнений для определения вероятностей состояний системы массового обслуживания?

— По какому общему правилу вычисляется вероятность любого состояния системы массового обслуживания?

Примеры решения задач

1. Построить граф состояний системы массового обслуживания и привести основные зависимости ее показателей эффективности.

а) n-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

— каналов ,

— интенсивность потока ,

— интенсивность обслуживания .

Возможные состояния системы:

— все каналы свободны (ноль заявок в системе);

— один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);

— два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);

— все каналов заняты ( заявок в системе).

Показатели эффективности системы:

— относительная пропускная способность ,

— абсолютная пропускная способность ,

— вероятность отказа ,

— среднее число занятых каналов .

Возможные состояния системы:

— все каналы свободны (ноль заявок в системе);

— один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);

— два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);

— все каналов заняты ( заявок в системе), ноль заявок в очереди;

— все каналы заняты, одна заявка в очереди;

— все каналы заняты, две заявки в очереди;

— все каналы заняты, заявок в очереди.

в) Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Возможные состояния системы:

— все каналы свободны (ноль заявок в системе);

— канал занят, ноль заявок в очереди;

— канал занят, одна заявка в очереди;

— канал занят, заявка в очереди;

Показатели эффективности системы:

— среднее число заявок в системе ,

— среднее время пребывания заявки в системе ,

— среднее число заявок в очереди ,

— среднее время пребывания заявки в очереди ,

— абсолютная пропускная способность ,

— относительная пропускная способность .

г) n-канальная СМО с неограниченной очередью

Возможные состояния системы:

— все каналы свободны (ноль заявок в системе);

— один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);

— два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);

— все каналов заняты ( заявок в системе), ноль заявок в очереди;

— все каналы заняты, одна заявка в очереди;

— все каналы заняты, заявок в очереди;



Показатели эффективности системы:

— среднее число занятых каналов ,

— среднее число заявок в системе ,

— среднее число заявок в очереди ,

— среднее время пребывания заявки в очереди .

РЕШЕНИЕ. Из условия ясно, что имеем многоканальную СМО с ограниченной очередью:

— число каналов ;

— интенсивность потока заявок (задача / час);

— время обслуживания одной заявки (час / задача), интенсивность обслуживания (задача / час);

— длина очереди .

Перечень возможных состояний:

— заявок нет, все каналы свободны;

— один канал занят, два свободны;

— два канала заняты, один свободен;

— три канала заняты;

— три канала заняты, одна заявка в очереди;

— три канала заняты, две заявки в очереди;

— три канала заняты, три заявки в очереди.

Рассчитаем вероятность состояния :

— вероятность отказа (все три ЭВМ заняты и три заявки стоят в очереди)

Читайте также:  Ребро пирамиды перпендикулярно плоскости основания постройте прямую пересечения

— относительная пропускная способность

— абсолютная пропускная способность

— среднее число занятых ЭВМ

РЕШЕНИЕ. По условию задачи , тогда .

1) Вероятность простоя каналов обслуживания:

,

2) Вероятность отказа в обслуживании:

.

3) Вероятность обслуживания:

.

4) Среднее число занятых обслуживанием каналов:

.

5) Доля каналов, занятых обслуживанием:

.

6) Абсолютная пропускная способность:

.

При . Произведя аналогичные расчеты для , получим

.

Так как , то произведя расчеты для , получим

.

ОТВЕТ. Вероятность того, что при деталь пройдет ОТК необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием на 53%.

Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее пяти контролеров.

4. (Задача с использованием СМО с неограниченным ожиданием.) Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров () для обслуживания вкладчиков. Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного вкладчика мин.

Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.

РЕШЕНИЕ. Интенсивность потока обслуживания , интенсивность нагрузки .

1) Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня (см. предыдущую задачу №3):

.

2) Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:

.

3) Вероятность очереди:

.

4) Среднее число заявок в очереди:

.

5) Среднее время ожидания заявки в очереди:

мин.

6) Среднее время пребывания заявки в СМО:

мин.

7) Среднее число свободных каналов:

.

8) Коэффициент занятости каналов обслуживания:

.

9) Среднее число посетителей в сберкассе:

чел.

ОТВЕТ. Вероятность простоя контролеров-кассиров равна 21% рабочего времени, вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%, среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями обслуживания 0,472 мин.

5. (Задача с применением СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.) Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с интенсивностью машин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомашинами (). В магазине работают три фасовщика (), каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течение ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч.

Определить, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была .

РЕШЕНИЕ. Определим интенсивность загрузки фасовщиков:

, авт./дн.

1) Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин (заявок):

,

2) Вероятность отказа в обслуживании:

.

3) Вероятность обслуживания:

.

Так как , произведем аналогичные вычисления для , получим

, , .

Так как , примем .

Для этого случая

, , ,

, емкость подсобных помещений необходимо увеличить до .

Для достижения заданной вероятности обслуживания можно увеличивать число фасовщиков, проводя последовательно вычисления СМО для и т. д. Задачу можно решить, увеличивая емкость подсобных помещений, число фасовщиков, уменьшая время обработки товаров.

Найдем остальные параметры СМО для рассчитанного случая при , , ,

4) Абсолютная пропускная способность:

авт./дн.

5) Среднее число занятых обслуживанием каналов (фасовщиков):

.

6) Среднее число заявок в очереди:

.

7) Среднее время ожидания обслуживания:

дн.

8) Среднее число машин в магазине:

авт.

9) Среднее время пребывания машины в магазине:

дн.

ОТВЕТ. Емкость подсобных помещений магазина должна вмещать товар, привезенный 4 автомашинами (), при этом вероятность полной обработки товара будет .

Задания для самостоятельной работы

Для каждой из следующих ситуаций определить:

a) к какому классу относится объект СМО;

b) число каналов ;

c) длину очереди ;

d)интенсивность потока заявок ;

e) интенсивность обслуживания одним каналом;

f) количество всех состояний объекта СМО.

В ответах указать значения по каждому пункту, используя следующие сокращения и размерности:

b) =… (единиц);

c) =… (единиц);

d) =ххх/ххх (единиц /мин);

e) =ххх/ххх (единиц /мин);

1. Дежурный по администрации города имеет пять телефонов. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.

2. На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжительность пребывания автомобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается.

3. АТС предприятия обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Средняя продолжительность разговоров составляет 1 мин. На станцию поступает в среднем 10 вызовов в сек.

4. В грузовой речной порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8 ч. Краны работают круглосуточно. Ожидающие обслуживания сухогрузы стоят на рейде.

5. В службе «Скорой помощи» поселка круглосуточно дежурят 3 диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача к больному поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Поток заявок составляет 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в среднем 1,5 мин.

Читайте также:  Может ли фермер построить дом на сельхоз земле

6. Салон-парикмахерская имеет 4 мастера. Входящий поток посетителей имеет интенсивность 5 человек в час. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 40 мин. Длина очереди на обслуживание считается неограниченной.

7. На автозаправочной станции установлены 2 колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на 2 автомашины для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем одна машина в 3 мин. Среднее время обслуживания одной машины составляет 2 мин.

8. На вокзале в мастерской бытового обслуживания работают три мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 ч, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин.

9. АТС поселка обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Время переговоров в среднем составляет около 3 мин. Вызовы на станцию поступают в среднем через 2 мин.

10. На автозаправочной станции (АЗС) имеются 3 колонки. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более одной машины, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю станцию. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин.

11. В небольшом магазине покупателей обслуживают два продавца. Среднее время обслуживания одного покупателя – 4 мин. Интенсивность потока покупателей – 3 человека в минуту. Вместимость магазина такова, что одновременно в нем в очереди могут находиться не более 5 человек. Покупатель, пришедший в переполненный магазин, когда в очереди уже стоят 5 человек, не ждет снаружи и уходит.

12. Железнодорожную станцию дачного поселка обслуживает касса с двумя окнами. В выходные дни, когда население активно пользуется железной дорогой, интенсивность потока пассажиров составляет 0,9 чел./мин. Кассир затрачивает на обслуживание пассажира в среднем 2 мин.

Для каждой из указанных в вариантах СМО интенсивность потока заявок равна и интенсивность обслуживания одним каналом . Требуется:

— составить перечень возможных состояний;

— построить граф состояний по схеме «гибели и размножения».

В ответе указать для каждой задачи:

— количество состояний системы;

— интенсивность перехода из последнего состояния в предпоследнее.

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 1 заявку

2. 2-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 31-канальная СМО с 1-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 31-канальная СМО с неограниченной очередью

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 2 заявки

2. 3-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 30-канальная СМО с 2-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 30-канальная СМО с неограниченной очередью

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 3 заявки

2. 4-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 29-канальная СМО с 3-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 29-канальная СМО с неограниченной очередью

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 4 заявки

2. 5-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 28-канальная СМО с 4-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 28-канальная СМО с неограниченной очередью

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 5 заявок

2. 6-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 27-канальная СМО с 5-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 27-канальная СМО с неограниченной очередью

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 6 заявок

2. 7-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 26-канальная СМО с 6-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 26-канальная СМО с неограниченной очередью

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 7 заявок

2. 8-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 25-канальная СМО с 7-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 25-канальная СМО с неограниченной очередью

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 8 заявок

2. 9-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 24-канальная СМО с 8-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 24-канальная СМО с неограниченной очередью

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 9 заявок

2. 10-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 23-канальная СМО с 9-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 23-канальная СМО с неограниченной очередью

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 10 заявок

2. 11-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 22-канальная СМО с 10-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 22-канальная СМО с неограниченной очередью

Источник

Adblock
detector