Меню

Построить график функции принадлежности для нечеткого множества

Методы построения функций принадлежности нечетких множеств

Примеры записи нечеткого множества

Представление нечеткого множества А

х1 х2 х3 х4 х5
0,3 0,5 0,9

Замечание. Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

При построении функций принадлежности используются прямые и косвенные методы. При использовании прямыхметодов эксперт либо просто задает для каждого xÎХ значение mA(x), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значе-ния, соответствующие значениям функции принадлежности 0 или 1.

Например в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы (табл. 2)

Шкалы в задаче распознавания образов

x1 высота лба низкий широкий
x2 профиль носа курносый горбатый
x3 длина носа короткий длинный
x4 разрез глаз узкие широкие
x5 цвет глаз светлые темные
x6 форма подбородка остроконечный квадратный
x7 толщина губ тонкие толстые
x8 цвет лица темный светлый
x9 очертание лица овальное квадратное

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает mA(x) на [0,1], формируя векторную функцию принадлеж-ности <mA(x1), mA(x2),. mA(x9)>.

При построении функций принадлежности используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо, и каждый должен дать один из двух ответов: «этот человек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение m«лысый» (данного лица).

,i=1,…,n. (1)

Пример.Построить функции принадлежности значений «низкий», «средний», «высокий», используемых для лингвистической оценки переменной «рост мужчины». Результаты опроса пяти экспертов приведены в табл. 3.

Результаты опроса экспертов

k Значения [160, 165) [165, 170) [170, 175) [175, 180) [180, 185) [185, 190) [190, 195) [195, 200)
Эксперт 1 низкий
средний
высокий
Эксперт 2 низкий
средний
высокий
Эксперт 3 низкий
средний
высокий
Эксперт 4 низкий
средний
высокий
Эксперт 5 низкий
средний
высокий

Результаты обработки экспертных мнений представлены в табл. 4. Числа курсивом – это количество голосов, отданных экспертами за принадлежность нечеткому множеству соответствующего элемента универсального множества. Числа обычным шрифтом – степени принадлежности, рассчитанные по формуле (1). Графики функций принадлежности показаны на рис. 6.

Результаты обработки мнений экспертов

Значения [160, 165) [165, 170) [170, 175) [175, 180) [180, 185) [185, 190) [190, 195) [195, 200)
низкий 5 4 3
0.8 0.6
средний 2 4 5 3 2
0.4 0.8 0.6 0.4
высокий 1 2 4 5 5
0.2 0.4 0.8

Рис. 6. Функции принадлежности нечетких множеств из примера

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, mA(xi)=wi, i=1,2. n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A=<aij>, где aij=wi/wj (операция деления).

Читайте также:  Когда построят станцию метро остафьевская

Дата добавления: 2014-12-27 ; Просмотров: 1328 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Построение функции принадлежности нечеткого множества и оценка его вероятностных характеристик Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шопин А. Г.

Рассматривается вопрос описания неточности информации в рамках теории нечетких множеств. Предлагается способ построения функции принадлежности нечеткого множества по известной плотности вероятности случайной величины. Рассматриваются функциональные преобразования над полученной нечеткой величиной, в том числе процесс устаревания информации. Анализируется взаимосвязь нечетких и случайных величин, получаются оценки для плотности вероятности результатов преобразований случайных величин с помощью функции принадлежности полученных нечетких величин.

The construction of the fuzzy sets characteristic function and an evaluation its probability behavior

The question of inaccuracy data description in the context of fuzzy logic is considered. The method of the construction of the fuzzy sets characteristic function with the aid of probability density is offered. The generations of fuzzy quantity including obsolescence are considered. The interdependences of the probability and fuzzy quantities are analyzed. The probability density evaluation is resulted.

Текст научной работы на тему «Построение функции принадлежности нечеткого множества и оценка его вероятностных характеристик»

Построение функции принадлежности нечеткого множества и оценка его вероятностных характеристик

На сегодняшний день существуют несколько способов описания неточности и неопределенности наших знаний об окружающем мире. Если рассмотреть историю развития науки в XX веке, то станет очевидно, что среди них лидирует теория вероятности (ТВ). Накопленный ею арсенал так велик и опыт его использования так обширен, что складывается впечатление, что ТВ достаточно для описания всех проблем неопределенности. В частности, в метрологии именно оценки погрешности и доверительные интервалы, полученные с помощью ТВ, считаются «истиной», оценки, полученные другими методами будут неправомочными, пока не будет доказана их связь с вероятностными. С другой стороны, за время интенсивного использования ТВ было выявлено несколько недостатков вероятностного подхода, из которых отметим два:

• сложность определения распределений априорных и условных вероятностей;

• невыполнение на практике свойства аддитивности, связанное с неаддитивностью мер человеческого мышления [1].

В качестве альтернативы ТВ была разработана теория возможностей [5, 6], базирующаяся на понятии нечеткого множества.

Нечеткое подмножество X множества и характеризуется функцией возможности (принадлежности) /х : и ^ [0,1], которая ставит в соответствие каждому элементу и е и число /х (и) из интервала [0, 1], характеризующее степень принадлежности элемента и подмножеству X. При этом 0 и 1 представляют собой соответственно низшую и высшую степень принадлежности элемента определенному подмножеству.

Над нечеткими множествами определяются операции объединения, пересечения и отрицания. Если X и У два нечетких множества с функциями принадлежности соответственно /х (х) и /лУ (х), то

Читайте также:  Постройте фигуры по заданным точкам мышонок лисица

1. 2 = XI У ^ /2 (х) = шт(/х (х), /У (х))

2. 2 = X YУ ^ /2 (х) = max(/х (х), /У (х))

3. 7 = X ^ / (х) = 1 (х)

При работе с нечеткими множествами возникает проблема построения функции принадлежности для некоторого нечеткого множества, которая заключается в том, что «функция принадлежности должна быть задана вне самой теории и, следовательно, ее адекватность не может быть проверена непосредственно средствами теории»[1].

В данной статье мы предлагаем вероятностные критерий достоверности и метод построения функции принадлежности. Мы также показываем, что предлагаемый метод в сочетании с известными методами теории возможности позволяет получить оценку для вероятности, совпадающую с оценкой, получаемой методами ТВ. Отдельно рассматривается вопрос устаревания информации и оценка вероятностных характеристик этого процесса методами теории возможности.

Рассмотрим следующую цепочку операций, схематически представленную на Рисунке 1:

• По известным плотностям вероятности случайных величин строятся функции принадлежности соответствующих нечетких величин.

• Находятся значения некоторых функций от полученных нечетких и исходных (случайных) величин.

• Сравниваются результаты, и оценивается плотность распределения вероятности полученной случайной величины с помощью распределения возможности нечеткой величины.

Рисунок 1. Связь вероятности и возможности. Если при этом будет установлена связь между возможностью и вероятностью, можно будет расширить теорию возможности мощными и признанными (что в некоторых случаях играет чрезвычайно важную роль) методами теории вероятности.

Построение функции принадлежности

Итак, для работы с нечеткими множествами необходимо построить функцию принадлежности.

а ее функция возможности /х (х).

Введем обозначение того, что величина А характеризуется функцией аА (х): А

Используя данное обозначение, можно записать, что X

на то, что нечеткие и вероятностные величины имеют несколько разную природу, «понятия плотности вероятности и функции принадлежности сравнимы» [П1].

Пусть для случайной величины Xp нам известна плотность распределения

рх (х). Она может быть задана априори или получена статистически.

Построим для данной случайной величины функцию принадлежности следующим образом:

где max(рх ) = max(рх (х)).

Эта функция отвечает интуитивным представлениям о том, что достоверность более вероятного события выше, чем достоверность менее вероятного события. Кроме того, построенная функция обладает следующими свойствами:

Ш1п(^х (х))> 0 max(^х (х)) = 1

Построенная нами функция является функцией принадлежности нормального нечеткого множества [4, 9]. Несмотря на то, что такой метод определения функции принадлежности является допустимым с точки зрения теории возможностей, было бы неплохо получить аналогичный результат другим способом, например, воспользовавшись методом экспертных оценок.

Для этого поставим мысленный эксперимент.

Пусть при изучении некоторой случайной величины была построена гистограмма распределения вероятности, представленная на рисунке 2.

Пусть известно, что данное распределение имеет плотность вероятности рх (х),

тогда при росте количества точек, образующих гистограмму, величина —будет

Пусть у нас есть М экспертов, будем предъявлять им каждую частоту в гистограмме и задавать им вопрос: можно ли считать достоверным, что случайная переменная примет значение, характеризующиеся такой частотой в гистограмме. От эксперта ожидается

Читайте также:  Как построить маяк клондайк

однозначный (булевый) ответ. В результате для каждой частоты гистограммы и для каждого эксперта можно получить функцию достоверности у (т, ):

Таким образом, получен набор мнений экспертов, различающихся степенью пессимистичности.

Определим функцию принадлежности для х е \xi; хг+1) как

Преобразуем (3) воспользовавшись критерием (2):

Можно показать, что при росте числа экспертов и количества точек гистограммы функция (х)(4) стремится к функции /их (х) — Рх( ) ч, совпадающей с формулой (1).

Линейная функция одной переменной

Рассмотрим теперь некоторые преобразования нечетких величин и взаимосвязь между их функциями принадлежности и плотностями вероятности, которые можно было бы получить методами теории вероятности.

Сначала рассмотрим линейное преобразование

г — / (х) — ах + с а ^ 0

Пусть задана случайная величина X (X

рх ) и соответствующая ей нечеткая величина X И (X И

/х). Найдем нечеткую величину 2 = /(х^)

Теперь определим функцию распределения случайной величины 2 = /(хp )

Сравнивая (5) и (6) получим, что

Ръ (г) = Д Рх I I = П шax(Рх )/Их I ^ I = Л ^^Рх К(г) (7)

а V а ) а V а ) а

Линейная функция двух переменных

г = / (х, у ) = ах + Ьу а, Ь ^ 0

Рассмотрим функцию, обратную к / (х, у) по аргументу у, обозначим ее g (х, г).

Пусть заданы две случайные величины X и Ур (X

ру ) и две соответствующие им нечеткие величины XИ и УМ (XИ

/у). Найдем нечеткую величину 2 = /(XИ, У/)

/ъ Воспользуемся принципом обобщения [4]:

Г sup (ш1п(/х (х), Му (У))) опёё 3 (x, У): /(x, У) = г

Иъ (г) = ^ х,у:/(х,у )= г (8)

Для сокращения выкладок приведем их только для тех г, для которых пара (х, у), такая что / (х, у) = г, существует. Преобразуем (8) следующим образом:

Мъ (г )= ^ (ш1п(Их (х) /у (у № = э^т^/х (х)/у (((( гМ (9)

где Мх (х)—, М; (у) — р М

max(pX)’ у max(pY) Теперь определим функцию распределения случайной величины Ър — I(хр, Тр )

ръ, которая для независимых случайных величин и монотонной всюду

1 г 1 г2) = ПХ М Д>=| М

Pz(г) — | (хг р(х )рг ((хг ))х (10)

В случае линейной функции g (х, г) —-получим

Pz(г) — Ь | Рх (х)Р/ (((х,г))х (11)

Чтобы сравнить полученную плотность вероятности (11) с функцией принадлежности (9), проведем следующие предварительные выкладки:

Рх (хК (((х. г)) — [max(Px )Мх (х)] • \max(PY К ^(х, г))] —

— max(Px )max(PY )Мх (х)Мт ((х, г)) — (12)

— max(рx )max(рY )max(мх (х), Мт (((х, г^^т^х (х), Мт (х))

В силу неотрицательности функции принадлежности, имеем: max(Мх (х), Мт С?(х,г))) Мт (((х,г))) dx

Сравним плотность вероятности (18) с функцией принадлежности (16). Отметим, что при устаревании функция принадлежности устаревшей величины превышает функцию принадлежности исходной величины:

Мх,+Т(У ) = suP Мх, (x2аЧ ^Мх, (У)

В силу того, что max Мх (x) = 1 > 0 из (16) следует неравенство:

Перепишем формулу (18), воспользовавшись условием (19):

Источник

Adblock
detector