Построить график функции путем сдвигов и деформаций

Преобразование графиков функций

В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.

Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.

Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.

Сдвиг по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.

1. Сдвиг по вертикали.

Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.

Теперь растяжение графика. Или сжатие.

2. Растяжение (сжатие) по горизонтали.

3. Растяжение (сжатие) по вертикали

И отражение по горизонтали.

4. Отражение по горизонтали

График функции симметричен графику функции относительно оси Y.

5. Отражение по вертикали.

График функции симметричен графику функции относительно оси Х.

Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.

6. Графики функций и

На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.

Построим график функции

Конечно же, мы пользуемся определением модуля.

Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.

Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.

Вот самые простые задачи на преобразование графиков.

1. Построим график функции

Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.

Вершина в точке

2. Построим график функции

Выделим полный квадрат в формуле.

Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка

Источник

Растяжение и сжатие графиков функций

Список функций, изученных в 7 и 8 классе

Растяжение и сжатие графика по оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$y_2 = y_1 при x_2 = \frac<1> <2>x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OX

График сжимается в 2 раза по оси OX

$y_2=y_1 при x_2 = \frac<1> <2>x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OX

Теперь сравним пары функций с делением на p:

$ y_2 = f \left(\frac<2>\right) = \left(\frac<2>\right)^2 = \frac <4>$

$y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OX

$y_2 = f \left(\frac<2>\right) = \frac<4> = \frac<8>$

$ y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OX

$y_2=y_1 при x_2 = 2x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OX

При сравнении графиков двух функций

график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Растяжение и сжатие графика по оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OY

$ y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OY

$y_2 = 2f(x) = 2\sqrt$

$y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OY

Теперь сравним пары функций с делением на A:

$y_2 = \frac<1><2>y_1 при x_2 = x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OY

$ y_2 = \frac<1><2>y_1 при x_2 = x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OY

$y_2 = \frac<1><2>y_1 при x_2 = x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OY

При сравнении графиков двух функций

график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Примеры

Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

Пример 2*. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

Источник

Растяжение и сжатие графиков. Параллельный перенос графиков функций

Разделы: Математика

ЦЕЛИ: 1) рассмотреть графики функций y=f(x), y=kf(x), y=f(x)+n, y=f(x-m) и y=f(x-m)+n и их свойства, используя ПК и программу Advanced Grapher;

2)расширить представления о преобразованиях графиков более сложных функций;

3)способствовать развитию у учащихся навыков чтения графиков и построения графиков функций.

I. Новый материал – объяснительная лекция.

Графики функций широко используются в различных областях инженерных знаний, поэтому умение строить, “читать”, прогнозировать их “поведение” имеют огромную роль в практической деятельности инженерных работников, гидро, метеорологов и людей других “математических” специальностей.

Выясним, какая связь существует между графиками функций y = f(x) и y = kf(x), где k-число, не равное нулю.

Пусть графиком функции y = f(x), область определения которой- промежуток[-2;4],является кривая, изображённая на рис.1а f(x) = x(x-3)(x+1).

Рассмотрим теперь случай, когда О 0, а затем отобразить его симметрично относительно оси Х.

Выясним, как связаны между собой графики функций y = f(x) и y = f(x)+n, где n –произвольное число.

Рассматривать будем попарно графики функций у и у(рис.2а), у и y(рис.2б), у и y(рис.2в), у и y(рис.2г).

Моментальное построение графика каждой из выше указанных функций даст возможность сделать вывод, что график функции y = f(x) + n можно получить из графика функции y = f(x) с помощью сдвига вдоль оси Y на n единиц вверх, если n>0, или на единиц вниз, если n 0, или на единиц влево, если m