Меню

Построить график следующих функций

Построение графиков функций

Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».

Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра. А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики».

Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».

Темы для повторения:

1. Построим график функции

Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.

Упростим формулу функции:

График функции — прямая с выколотой точкой

2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.

3. Построим график функции

Он получается из графика функции растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали

Читайте также:  Когда построили горьковское водохранилище

4. Построим график функции

Главное — правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:

Действуем по порядку:

1) График функции y=sinx сдвинем на влево;

2) сожмем в 2 раза по горизонтали,

3) растянем в 3 раза по вертикали,

4) сдвинем на 1 вверх

Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».

5. Построим график функции

Область определения функции:

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Прямая x = 0 (ось Y) — вертикальная асимптота функции. Асимптота — прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)

Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.

Раскроем скобки в формуле функции:

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю. Прямая является наклонной асимптотой к графику функции.

6. Построим график функции

Это дробно-рациональная функция.

Область определения функции

Нули функции: точки — 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, — горизонтальная асимптота.

Вот эскиз графика:

Еще один интересный прием — сложение графиков.

7. Построим график функции

Если x стремится к бесконечности, то и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте

Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как Это мы и видим на графике:

Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!

8. Построим график функции

Область определения этой функции — положительные числа, поскольку только для положительных x определен

Читайте также:  Fallout 4 как построить нормальный дом

Значения функции равны нулю при (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где то есть при

9. Построим график функции

Функция определена при Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций и График симметричен относительно оси ординат.

Нули функции — в точках, где то есть при

Оказывается, что если x стремится к нулю, то стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».

А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.

10. Построим график функции

Область определения функции — все действительные числа, поскольку

Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

При x=0 значение функции равно нулю. При значения функции положительны, при отрицательны.

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю.

Найдем производную функции
По формуле производной частного,

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс», — точка минимума функции.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус», — точка максимума функции.

Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.

Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?

Общая схема построения графика функции:

1. Область определения функции

2. Область значений функции

3. Четность — нечетность (если есть)

4. Периодичность (если есть)

5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)

6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).

7. Асимптоты (если есть).

8. Поведение функции в бесконечности

9. Производная функции

Читайте также:  Лего что можно построить и как видео

10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.

Источник

Построение графиков в Excel. Практическая работа

Цель работы:

Оборудование:

Фронтальный опрос изученного материала.

Опорный конспект

Для построения графиков функций Y(X) в Microsoft Office Excel используется тип диаграммы Точечная:

Для этого требуется два ряда значений: Х и Y значения, которые должны быть соответственно расположены в левом и правом столбцах.
Можно совместить построение нескольких графиков. Такая возможность используется для графического решения систем уравнений с двумя перемен­ными, при проведении сравнения анализа значений y при одних и тех же значениях x.

ПРИМЕР.
(Используется при объяснении материала через проектор.)
Построить графики функций y1= x 2 и y2= x 3 на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,5.
Алгоритм выполнения задания:
1. Заполнить таблицу значений:

2. Выделить таблицу и указать тип диаграммы Точечная.
3. Выбрать формат точечной диаграммы с гладкими кривыми.
4. В Макете указать название диаграммы «Графики», дать название осей: X и Y

5. Должен получиться график:

P.S. В версии 97-2003 для получения графика, представленного на рисунке надо провести редактирование.

Раздаточный материал

Варианты

ВАРИАНТ 1
Построить графики функций y1= x 2 -1, y2= x 2 +1 и y=К·(y1/ y2)на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,3.

ВАРИАНТ 2
Построить графики функций y1= и y2= 2 х на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,5.

ВАРИАНТ 3
Построить графики функций y1= , y2= на интервале [- 0,5 ; 9] с шагом 0,5.

ВАРИАНТ 5
Построить графики функций y1= , y2= на интервале [0,5 ; 5] с шагом 0,5.

Источник

Adblock
detector