Дробно-линейная функция
Разделы: Математика
Функция у = 
и её график.
ЦЕЛИ:
1) ввести определение функции у = 
;
2) научить строить график функции у = , используя программу Agrapher;
3) сформировать умение строить эскизы графиков функции у = , используя свойства преобразования графиков функций;
4) научить читать графики функций у =.
I. Новый материал – развёрнутая беседа.
У: Рассмотрим функции, заданные формулами у = 
; у = 
; у = 
.
Что представляют собой выражения, записанные в правых частях этих формул?
Д: Правые части этих формул имеют вид рациональной дроби, у которой числитель-двучлен первой степени или число, отличное от нуля, а знаменатель-двучлен первой степени.
У: Такие функции принято задавать формулой вида
у = (1).
Рассмотрите случаи когда а) с = 0 или в) 
= 
.
(Если во втором случае учащиеся будут испытывать затруднения, то нужно попросить их выра зить с из заданной пропорции и затем подставить полученное выражение в формулу (1)).
Д1: Если с = 0, то у = 
х + в – линейная функция.
Д2: Если 
= 
, то с = 
. Подставив значение с в формулу (1) получим:
= 
= 
= , то есть у = — линейная функция.
У: Функция, которую можно задать формулой вида у =, где буквой х обозначена незави-
симая переменная, а буквами а, в, с и d – произвольные числа, причём с
0 и аd – вс 
0, называется дробно-линейной функцией.
Покажем, что графиком дробно-линейной функции является гипербола.
Пример 1. Построим график функции у = 
. Выделим из дроби 
целую часть.
Имеем: = 
= 
= 1 + 
.
График функции у = 
+1 можно получить из графика функции у = 
с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Х и сдвига на 1 единицу вверх в направлении оси У. При этих сдвигах переместятся асимптоты гиперболы у = 
: прямая х = 0 (т. е. ось У) – на 2 единицы вправо, а прямая у = 0 (т. е. ось Х) – на одну единицу вверх. Прежде чем строить график, проведём на координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямые х = 2 и у = 1 (рис. 1а). Учитывая, что гипербола состоит из двух ветвей, для построения каждой из них составим, используя программу Agrapher, две таблицы: одну для х>2, а другую для х
| х | 1 | -1 | -2 | -4 | -10 | |
| у | -5 | -2 | -1 | -0,5 | 0,5 | |
| х | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 |
| у | 7 | 4 | 3 | 2,5 | 2 | 1,6 |
Отметим (с помощью программы Agrapher) в координатной плоскости точки, координаты которых записаны в первой таблице, и соединим их плавной непрерывной линией. Получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, воспользовавшись второй таблицей, получим вторую ветвь гиперболы (рис. 1б).
| х | -2 | -1 | 1 | 2 | 7 |
| у | -6 | -4 | -3 | -2,8 | -2,4 |
| х | -4 | -5 | -7 | -8 | -11 |
| у | 2 | -1 | -1,2 | -1,5 |
У: Что является графиком дробно-линейной функции?
Д: Графиком любой дробно-линейной функции является гипербола.
У: Как построить график дробно-линейной функции?
У: Какова область определения дробно-линейной функции?
Д: D(y) =
У: Какова область значений дробно-линейной функции?
Д: Е(у) = 
.
У: Есть ли у функции нули?
Д: Если х = 0, то f(0) = 
, d
. То есть у функции есть нули – точка А
.
У: Есть ли у графика дробно-линейной функции точки пересечения с осью Х?
У: Функция убывает на промежутках всей области определения, если bc-ad > 0 и возрастает на промежутках всей области определения, если bc-ad 0 и в которых у 0.
8. Укажите промежутки возрастания (убывания) функции.
Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:
Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.
Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:
Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:
Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.
Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:
а) у = 
и у = х+2; б) у = 
и у = х
-2х+3.
Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:
Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.
Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:
1. Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:
Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.
Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:
Примерное содержание карточки “Результаты исследования функции» см. “Приложение 1”.
Список литературы.
Источник