Построить графики целых рациональных функций степени выше второй

Moodle Mobile

С действующим Положением об образовательных онлайн-ресурсах БГУ можно ознакомиться на сайте БГУ в разделе Образование / Информация для профессорско-преподавательского состава

Установлены новые плагины:

Формат курса — темы кнопками, попробуйте!

Платформа для разработки и использования образовательных онлайн-ресурсов БГУ
на базе LMS MOODLE 3.6.2+ — самой новой версии.

© Белорусский государственный университет. Адрес: пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Республика Беларусь

Источник

Исследовать функцию вида

и построить её график по общей схеме.

Общее исследование функций и построение графиков выполняют по следующей схеме:

Задайте числовые параметры Вашего варианта и нажмите кнопку «Ввод.»

Показатели степени n и m должны быть целыми положительными однозначными числами. Коэффициенты a, b, c, d могут принимать любые целые значения из промежутка [-99,99]. Если перед дробью стоит знак «−», отнесите его к числителю. Не увлекайтесь слишком большими и малыми значениями коэффициентов. Помните о том, что «бесконечность» не поместится на экране.

a = b = c = d =

n = m =

Применим эту схему для функции

2. Функция нечётна, т.к.
,
следовательно её график будет симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно исследовать функцию в промежутке [0; +∞).

3. Функция непрерывна внутри своей области определения. Краевые точки интересующей части области определения исследуем одновременно с поиском асимптот.

4. Вычисляем пределы слева и справа от точки разрыва области определения (x = 2)

Следовательно прямая x = 2 является вертикальной асимптотой. А разрыв функции в точке x = 2 является разрывом второго рода.

Вычисляем предел функции на бесконечности

На основании этого результата делаем вывод о том, что горизонтальных асимптот у функции нет, но могут быть наклонные. Для поиска наклонной асимптоты вычисляем следующие пределы
и
.
Итак, кривая имеет наклонную асимптоту y = 2x, причём
Последнее означает, что при x > 2 график функции будет расположен выше прямой y = 2x, а при x √3 _ ≈ 3,46 и в точке x = 2 обращается в бесконечность. Знаки производной на участках между этими характерными точками позволяют выявить характер монотонности функции. Вычислим значения функции в точках x₁ и x₂.
, .

6. Характер выпуклости графика функции определяется на основе анализа её второй производной. Вычислим
.
Вторая производная обращается в ноль в точке x = 0 и в бесконечность при x = 2. Интервалы выпуклости графика определяются знаками второй производной на участках между этими точками.

7. Для определения точек пересечения графика функции с осью Ox необходимо решить уравнение
,
а для определения точек пересечения с осью Oy вычислить
.
В данном случае график пересекает оси в единственной точке (0;0).

Для удобства и наглядности исследования составим следующую таблицу, в которой все интересующие нас точки расположим в порядке возрастания. В строках y’ и y» проставляем значения производных в точках или их знаки на промежутках. Последние определяем по любой точке из промежутка, для которой легче произвести вычисления. В строке делаем отметки о своих выводах.

x		(0;2)	2	(2;2 √3 _ )	2 √3 _ ≈ 3,5	2( √3 _ ;+∞)
y’		−	∞	−		+
y»		−	∞	+		+
y			∞		6 √3 _ ≈ 10,4

Используя результаты исследования, строим график: оси координат, аcимптоты, характерные точки, затем, ориентируясь на отметки последней строки таблицы, – кривую в области положительных x. Кривую в области отрицательных x строим симметрично относительно начала координат.

Источник

Урок-практикум по теме «Построение графика дробно-линейной функции»

Разделы: Математика

I. Класс разбивается на группы по 4 человека так, чтобы в каждой группе был консультант и трое учащихся с разным уровнем усвоения знаний.

II. Выполнение домашней работы проверяет консультант группы.

III. Фронтальный опрос производится по вопросам:

1. Что такое дробно – линейная функция?

2. Что является графиком этой функции?

3. Какие преобразования графиков вы изучали?

4. Как определяются асимптоты?

IV. Каждая группа получает задание:

1. Определить, какая из функций является дробно – линейной (в дальнейшем ДЛФ)?

2. Выделить целую часть из ДЛФ, которую вы определили.

3. Построить график этой ДЛФ, используя соответствующую последовательность преобразований графиков.

Задание № 1 для первой группы. Задание № 1 для второй группы.

Каждая группа записывает результаты на доске и демонстрирует чертёж графика, который соответствует данной функции. (Учитель имеет ранее подготовленные чертежи этих ДЛФ).

Задание № 2. построить график ДЛФ, используя асимптоты и контрольные точки.

Задание для первой группы – это ДЛФ из задания № 1 для второй группы: у = .

Задание для второй группы – это ДЛФ задания № 1 для первой группы: у = .

Выполнив задание, каждая группа проверяет верность построения графика ДЛФ по чертежу графика на доске.

Итогом обсуждения полученных результатов является вывод:

1. График любой дробно – линейной функции есть гипербола.

2. Построить график ДЛФ можно:

1) выделяя целую часть из ДЛФ и осуществляя соответствующую последовательность преобразований графиков;

2) применяя практические приёмы построения гиперболы: использование асимптот, контрольных точек и учёт симметрии графика относительно точки пересечения асимптот.

V. Рефлексия на уроке осуществляется в ходе выполнения задания:

Установите, какой график соответствует данной функции:

Вариант 1.	Вариант 2.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Читайте также:  Построить дом как у стерлигова

VI. Подведение итогов урока. Задание на дом.

Учитель. На уроке вы строили графики ДЛФ – параболы, применяя различные приёмы: деление многочлена на многочлен разными способами, поиск асимптот, использование контрольных точек, учёт симметрии графика. Дробно – линейная функция является рациональной и представляет собой частное двух линейных функций – многочленов первой степени.

Дома постройте графики функций, являющихся частными двух многочленов степени первой и выше первой. Это более сложные графики, но для их построения достаточно применить приёмы, с которыми вы уже знакомы.

1.

2.

3.

4.

5.

Источник