Меню

Построить в трех проекциях сечение конуса проецирующей плоскостью

Сечение поверхности конуса плоскостью общего положения

При пересечении прямого кругового конуса с плоскостью могут образовываться следующие кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Вид этих кривых зависит от угла наклона секущей плоскости к оси конической поверхности.

Определение высшей и низшей точки сечения. Границы видимости

Построение линии пересечения следует начинать с нахождения её характерных точек. Они определяют границы сечения и его видимость по отношению к наблюдателю.

Через ось конической поверхности проведем вспомогательную плоскость γ, параллельную П2. Она пересекает конус ω по двум образующим, а плоскость α по фронтали fγ. Точки 1 и 2 пересечения fγ с образующими являются граничными точками. Они делят сечение на видимую и невидимую части.

Определим высшую и низшую точки линии пересечения. Для этого через ось конуса перпендикулярно hα введем дополнительную секущую плоскость β. Она пересекает коническую поверхность по образующим SL и SK, а плоскость α по прямой MN. Искомые точки 3 = SL ∩ MN и 4 = SK ∩ MN определяют большую ось эллипса. Его центр находится в точке O, которая делит отрезок 3–4 пополам.

Определение промежуточных точек и построение проекций эллипса

Чтобы построить проекции сечения наиболее точно, найдем ряд дополнительных точек. В случае с эллипсом целесообразно определить величину его малого диаметра. Для этого через центр O проводим вспомогательную горизонтальную плоскость δ. Она пересекает коническую поверхность по окружности диаметром AB, а плоскость α – по горизонтали hδ. Строим горизонтальные проекции окружности и прямой hδ. Их пересечение определяет точки 5′ и 6′ малого диаметра эллипса.

Для построения промежуточных точек 7 и 8 вводим вспомогательную горизонтальную плоскость ε. Проекции 7′ и 8′ определяются аналогично 5′ и 6′, как это показано на рисунке.

Соединив найденные точки плавной кривой, мы получили контур эллиптического сечения. На рисунке он обозначен красным цветом. Фронтальная проекция контура меняет свою видимость в точках 1 и 2, как это было отмечено выше.

Построение натуральной величины сечения методом совмещения

Чтобы найти натуральную величину сечения, повернем плоскость α до совмещения её с горизонтальной плоскостью. В качестве оси вращения будем использовать след hα. Его положение в процессе преобразований останется неизменным.

Построение начинается с определения направления фронтального следа f1α. На прямой fα возьмем произвольную точку E и определим её проекцию E’. Из E’ опустим перпендикуляр к hα. Пересечение данного перпендикуляра с окружностью радиусом XαE» определяет положение точки E’1. Через Xα и E’1 проводим f1α.

Строим проекцию горизонтали h’1δ ∥ hα, как это показано на рисунке. Точки O’1 и 5′1, 6′1 лежат на пересечении h’1δ с прямыми, проведенными перпендикулярно hα из O’ и 5′, 6′. Аналогично на горизонтали h’1ε находим 7′1 и 8′1.

Строим проекции фронталей f’1γ ∥ f1α, f’3 ∥ f1α и f’4 ∥ f1α. Точки 1′1, 2′1, 3′1 и 4′1 лежат на пересечении этих фронталей с перпендикулярами, восстановленными к h из 1′, 2′, 3′ и 4′ соответственно.

Источник

Чертежик

Метки

Натуральная величина сечения конуса.

В статье рассмотрим вопрос: «Как чертится натуральная величина сечения конуса»

Первоначально необходимо начертить сечение конуса, полученное в результате секущей плоскости, и отобразить на трех видовых проекциях.

Определение точек сечения определяется с помощью секущих плоскостей.

Читайте также:  Как построить навес для скота

1.) Отмеряем размер от оси Х до осевой линии вида сверху и откладывается от точки до оси строящегося сечения;

2.) Также как и в 1 пункте отмеряем длину от оси Х до оси вида сверху;

3.) Чертим центральную ось сечения под углом 90 0 ;

4.) Отмеряют расстояние согласно рисунку;

5.) Подобным образом переносятся остальные точки;

6.) Соединяем и обводим полученное сечение.

Вы также можете ознакомиться с построение в видео.

Источник

Начертательная геометрия: конспект лекций.

2. Сечение поверхности конуса.

В общем случае круговая коническая поверхность включает в себя две совершенно одинаковые полости, которые имеют общую вершину (рис. 107в). Образующие одной полости представляют собой продолжение образующих другой полости. На практике мы имеем дело не с бесконечно расширяющимися двумя полостями конической поверхности, а с телом, которое ограничено одной полостью этой поверхности и плоскостью, что является обычным круговым конусом.

Бывают различные случаи сечения поверхности кругового конуса плоскостью.

1. Эллипс, если секущая плоскость не параллельна ни одной образующей (рис. 107б). Здесь секущая плоскость пересекает поверхность только одной полости конуса. Угол наклона секущей плоскости по отношению к основанию конуса меньше угла, который образующая конуса составляет с основанием конуса (рис. 108б). Здесь угол является углом, который образующая составляет с основанием.

В том случае, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса (φ = α), окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.

2. Парабола, если секущая плоскость параллельна только одной образующей (рис. 107в). Здесь секущая плоскость не пересекает вторую полости конуса, а угол наклона v1φ секущей плоскости по отношению к основанию конуса равен углу (рис. 108в).

На рисунке 108в плоскость Q параллельна образующей , а ось параболы параллельна этой образующей.

3. Гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим (рис. 107а). При этом секущая плоскость пересекает обе полости конуса. Угол наклона секущей плоскости по отношению к основанию конуса больше угла (рис. 108а). На этом рисунке для указания двух образующих, которым параллельна секущая плоскость R, нужно провести через вершину конуса плоскость R1, которая параллельна плоскости R. Плоскость R1 должна пересечь поверхность конуса по образующим и , которым будет параллельна плоскость R.

Заметим, что лишь в случае гиперболы секущая плоскость будет пересекать обе полости конуса. Значит любая плоскость, которая пересекает обе полости конуса, обязательно будет пересекать его поверхность по гиперболе.

4. Пара прямых, если секущая плоскость проходит через вершину конуса и угол ее наклона к основанию конуса больше угла (рис. 107 г). Этот случай иногда рассматривают как частный случай гиперболы.

Анализируя рисунок 108, заметим, что фронтально-проецирующая плоскость может давать сечения всех рассмотренных выше видов.

Источник

Конуса усеченные

При сечении прямого кругового конуса плоскостью простейшими фигурами являются: равнобедренный треугольник, если плоскость проходит через вершину конуса (рис. 13, а) или его, ось, и круг, когда плоскость перпендикулярна к оси конуса (рис. 13, б). При всех других положениях плоскости относительно оси конуса она пересекает коническую поверхность по лекальной кривой.

Секущая плоскость, параллельная двум образующим конуса, например SA и SB, пересекает коническую поверхность по гиперболе. При этом секущая плоскость может быть наклоненной к оси конуса (рис. 14, а) или быть параллельной ей (рис. 14, б). Характерным признаком таких секущих плоскостей является то, что они пересекают обе полости конической поверхности.

Читайте также:  Построить хамам в нижнем новгороде

Плоскость, параллельная одной из образующих конуса, например SC, пересекает коническую поверхность по параболе (рис. 14, в). Секущая плоскость, параллельная одной образующей конуса, пересекает только одну полость конической по­верхности, поэтому парабола, в отличие от гиперболы, имеет одну ветвь.

В случае, когда секущая плоскость наклонена к оси конуса так, что пересекает все его образующие, фигурой сечения является эллипс с большой осью АВ и малой CD (рис. 15, а). Если же плоскость пересекает все образующие конической поверхности при про­должении ее за пределами конуса, то фигура сечения представляет собой неполный эллипс (рис. 15, б).

Построение трех проекций контура сечения и его истинной величины при пересечении конуса горизонтально проецирующей плоскостью α(рис. 16). Плоскость α и ось вращения конуса перпендикулярны к плоскости π1 (рис. 16, а), следовательно, они параллельны между собой и заданная плоскость α пересекает коническую поверхность по гиперболе. Фигура сечения представляет собой часть плоскости, ограниченной гиперболой и замыкающей ее хордой (рис. 16, б).

На чертеже строят три проекции конуса и горизонтальную про­екцию заданного сечения (рис. 16, в). На виде сверху определяют положение вершины гиперболы — точки А’, которая находится в середине горизонтальной проекции фигуры сечения. Фронтальную А» и профильную А'» проекции вершины получают с помощью дуги радиуса RA, линий проекционной связи и координаты YA. Плоскость α пересекает основание конуса по хорде ВС. Проекции точки В отмечают без дополнительных линий. Для построения точки С на виде спереди проводят вертикальную линию проекционной связи, а на виде слева ее получают, отложив координату YC. Затем находят точку D», расположенную на очерковой образующей фронтальной проекции конуса и определяющую границу видимости гиперболы на виде спереди.

Остальные точки гиперболы, лежащие между ее вершиной А и хордой ВС, являются промежуточными. Гипербола имеет ось симметрии, от которой промежуточные точки одного уровня удалены на одинаковое расстояние, что позволяет уменьшить количество вспомогательных линий при определении их проекций. В качестве вспомогательных линий используют образующие конуса или окружности, проведенные на его поверхности. Для примера на рис. 16, в показано построение проекций промежуточных точек 1 и 2.

Построенная гипербола расположена на той части конической поверхности, которая невидима на виде слева. Поэтому при обвод­ке чертежа профильную проекцию кривой изображают штриховы­ми линиями.

Истинную величину фигуры сечения получают на дополнительной плоскости, параллельной плоскости α. Новая ось проекций х1 совмещена с хордой ВС, принадлежащей плоскости π1, и от нее замеряют координаты z точек гиперболы.

Построение трех проекций контура сечения и его истинной величины при пересечении фронтально проецирующей плоскостью α прямого кругового конуса (рис. 17). По заданной фронтальной проекции плоскости α (рис. 17, а) видно, что она наклонена к оси вращения конуса так, что пересекает все его образующие, т. е. фигурой сечения является эллипс (рис. 17, б).

Построив три проекции конуса и фронтальную проекцию заданного сечения, обозначают на ней концы осей эллипса (рис. 17, в): большой — точки А», В» и малой — точки С», D». Эллипс имеет две оси симметрии, поэтому точка С» ≡ (D») расположена в середине отрезка А»В». На видах сверху и слева точки А и В получают с по­мощью линий проекционной связи. Горизонтальные проекции точек С и D отмечают на вспомогательной окружности, проведенной через них на поверхности конуса, а на виде слева точки С» и D»‘ получают, отложив их расстояние от плоскости симметрии конуса β. Далее находят профильные проекции точек Е и F, расположен­ные на очерковых образующих конуса и определяющие границу ви­димости эллипса на виде слева. В последнюю очередь строят 10—12 промежуточных точек эллипса. Определение их проекций аналогично построению проекций точек С и D. При обводке черте­жа невидимую часть проекции эллипса на виде слева изображают штриховыми линиями.

Читайте также:  Как построить трубопровод в святилище в зомби ферме

Истинную величину эллипса, искаженного на плоскостях π1, π2, π3, определяют на дополнительной плоскости, параллельной секу­щей плоскости α. Новую ось х1 совмещают с большой осью АВ эл­липса, параллельной плоскости π2, и от нее откладывают отрезки, равные полухордам эллипса, замеряя их на горизонтальной проекции. Эллипс, как уже отмечалось, имеет две оси симметрии, поэто­му, зная положение одной промежуточной точки, например 1, можно построить еще три точки эллипса, симметричные ей относитель­но этих осей, например точки 3, 4 и 5.

Построение по заданной фронтальной проекции усеченного прямого кругового конуса его горизонтальной и профильной про­екций (рис. 18). Заданные секущие плоскости перпендикулярны к плоскости π2 (рис. 18, а), поэтому по фронтальной проекции усе­ченного конуса можно судить о том, по каким линиям пересекает каждая плоскость коническую поверхность (рис. 18, б). Фронтально проецирующая плоскость α проходит через вершину конуса и пересекает его по двум образующим. Горизонтальная плоскость β, пер­пендикулярная к оси вращения конуса, пересекает его поверхность по окружности. Еще одна плоскость — фронтально проецирующая плоскость γ — параллельна очерковой образующей конуса, т. е. в сечении получается парабола.

Решение примера выполняют в обычном порядке: строят три проекции целого конуса и фронтальную проекцию заданного выре­за (рис. 18, в). Усеченный конус имеет фронтальную плоскость симметрии δ, поэтому точки фигур сечения, необходимые для по­строения их проекций, обозначены только на передней поверхности конуса. На чертеже проекции этих точек получают с помощью та­ких же вспомогательных линий и приемов, которые были разобра­ны в предыдущих примерах (см. рис. 16 и 17). Поэтому ниже изло­жена лишь последовательность определения на видах сверху и сле­ва проекций обозначенных точек.

Вначале определяют положение образующих конуса, получен­ных при пересечении его с плоскостью α (образующая SA и сим­метричная ей). Затем изображают горизонтальную и профильную проекции окружности, расположенной в плоскости β, и проекции точек В и D лежащих на ней и симметричных им. Построение па­раболы начинают с определения проекций ее вершины — точки С и точки Е, принадлежащей очерковой образующей конуса на виде слева. Далее определяют положение проекций ее промежуточных точек, например точки 1 и симметричной ей.

Чертеж заканчивают изображением линий пересечения плоскости β с плоскостями α и γ — отрезков фронтально проецирующих прямых, проходящих через точки В и D. На построенных проекциях усеченного конуса штриховыми линиями показывают невидимые части параболы.

Дата добавления: 2015-07-13 ; Просмотров: 2226 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Adblock
detector