Комплексные числа и векторы
Таким образом, может быть установлено взаимно однозначное соответствие между множеством точек координатной плоскости (комплексными числами) и множеством векторов, отложенных от начала системы координат.
Если z = x + yi (рис. 5), то вектор , отложенный от начала системы координат до точки, изображающей число z, будет иметь координаты (x; y). Известно, что равные векторы имеют равные координаты.
Итак, мы рассмотрели два способа интерпретации комплексных чисел: их можно изображать либо точками координатной плоскости, либо векторами, отложенными от начала системы координат. При этом любые два равных вектора (имеющих одно и то же направление и равные длины) изображают одно и то же комплексное число, а векторы, отличные либо длиной, либо направлением, изображают разные числа. На рисунке 6 с помощью векторов изображены различные комплексные числа: изображает число 2 + 0i;
– число – 3 + 0i;
– число 0 + i;
– число 0 + 2i;
– число 0 – 3i;
– число 3 + 2i;
– число – 1 – 2i.
Ясно, что любой ненулевой вектор, лежащий на оси Oy (или параллельный ей), изображает чисто мнимое число yi, причем y > 0, если направление вектора совпадает с направлением оси, y
соответственно модули этих чисел, а j1 и j2 – их аргументы. Найдем произведение этих чисел:
Воспользуемся известными из школы теоремами сложения синуса и косинуса:
Тогда произведение данных комплексных чисел равно комплексному числу:
Последнее соотношение позволяет сформулировать правило умножения комплексных чисел: при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а их аргументы складываются. Это проиллюстрировано на рисунке 8.
Ясно, что произведение комплексных чисел связано с поворотом (вращением). Так, произведение z1z2 изображается вектором
представляющим собой образ вектора
, повернутого на угол j2 (или образ вектора
, повернутого на угол j1), при этом модуль вектора равен произведению модулей данных векторов.
Связь произведения комплексных чисел с вращением становится более наглядной, если рассматривать произведение различных комплексных чисел (векторов) на комплексное число i, у которого модуль равен 1, а аргумент 90°. Например, найдем произведение комплексных чисел z1 = 1 + i и z2 = i.
z = z1z2 = (1 + i)i = i + i 2 = – 1 + i.
Числа z1 и z2 соответственно изображают векторы и (рис.9). Мы видим, что модуль комплексного числа z равен модулю числа z1:
Источник
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №39. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
3) определение модуля комплексного числа.
Глоссарий по теме:
а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b)
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке
Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число z=a+bi, называется модулем этого комплексного числа.
Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.
Модуль вычисляется по формуле:
То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Геометрическое изображение комплексных чисел.
а) Комплексные числа изображаются точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).
Модуль комплексного числа
Как отмечалось выше, комплексное число также можно изображать радиус-вектором (рис. 4).
Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число z=a+bi, называется модулем этого комплексного числа.
Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.
Модуль вычисляется по формуле:
То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.
Иногда еще модуль комплексного числа обозначается как r или ρ.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: единичный выбор
Найдите модуль комплексного числа z=5-3i
Решим данное задание, используя определение модуля.
Верный ответ: 2.
№2. Тип задания: рисование.
Изобразите вектором на комплексной плоскости точку z=2+3i
Разобьем z=2+3i на две части: z1=2 и z2= 3i. Отметим на плоскости точки О и А, соединим их:
Источник
Комплексные числа
Алгебраическая форма записи комплексных чисел
Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
По этой причине
Комплексно сопряженные числа
Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле
Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:
а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле
Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:
Деление на нуль запрещено.
Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.
При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.
Аргумент комплексного числа
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.
Тогда оказывается справедливым равенство:
(3) |
(4) |
а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.
Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.
Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y
Расположение числа z | Знаки x и y | Главное значение аргумента | Аргумент | Примеры |
Положительная вещественная полуось | ||||
Положительная мнимая полуось | ||||
Второй квадрант | ||||
Отрицательная вещественная полуось | Положительная вещественная полуось | |||
Знаки x и y | ||||
Главное значение аргумента | ||||
Аргумент | φ = 2kπ | |||
Примеры |
значение
аргумента
Расположение числа z | Положительная мнимая полуось |
Знаки x и y | |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
значение
аргумента