Меню

Построить векторную диаграмму для случая четырех открытых зон френеля

4.2 Дифракция Френеля на простейших препятствиях

Графический способ решения дифракционных задач. Спираль Френеля

Вычисление результирующего светового поля, описываемого интегралом Гюйгенса-Френеля, сводится к суммированию световых колебаний, возбуждаемых элементарными вторичными источниками. С математической точки зрения задача сводиться к суммированию гармонических колебаний, имеющих одну и ту же частоту, но разные амплитуды и фазы. Наглядный способ решения этой задачи – построение векторной диаграммы. Как известно, гармонические колебания с амплитудой A и фазой J можно охарактеризовать комплексной амплитудой E = AExp(IJ) либо вектором на плоскости переменных ReE и ImE, причём длина вектора равна A, а угол наклона к оси ReE равен J. Сумма нескольких гармонических колебаний частоты W с произвольными амплитудами и фазами есть также гармоническое колебание на частоте W. Действительную амплитуду и фазу результирующего колебания можно найти, откладывая по правилу сложения векторов векторы, изображающие колебания-слагаемые. После построения векторной суммы, амплитуда результирующего колебания находится как длина полученного вектора-суммы, а фаза результирующего колебания – как угол наклона этого вектора к оси абсцисс.

Спираль Френеля. Применим описанный метод для расчёта дифракционного интеграла Гюйгенса-Френеля. Сначала вычислим вклад в дифракционный интеграл, например, первой зоны Френеля. Для этого разбиваем зону Френеля на множество подзон. Разбиение производим таким образом, чтобы площади подзон были примерно одинаковы, а число подзон было достаточно большим. В этом случае вклады подзон можно изобразить векторами, которые имеют почти одинаковую длину, но разные углы наклона к оси абсцисс. Первый и последний векторы будут повёрнуты друг относительно друга на угол P – в соответствии с определением зоны Френеля. По мере увеличения радиуса вклад подзоны (и, следовательно, длина соответствующего вектора) немного уменьшается вследствие увеличения угла между нормалью к поверхности и направлением на точку наблюдения (рис. 4.5А).

Р и с. 4.5

Источник

Построить векторную диаграмму для случая четырех открытых зон френеля

Рассуждая аналогично для правой части рис. 10, получим следующее выражение:

Чтобы иметь некоторое представление о порядках величин, с которыми приходится иметь дело при дифракции света, рассмотрим следующий пример.

Поскольку падающая волна плоская, следует воспользоваться формулой (23), откуда находим

т. е. в данном случае в отверстии укладывается две с половиной зоны Френеля.

Число зон в отверстии мы можем изменять. Например, для увеличения числа зон надо или расширить отверстие, или приблизить экран к нему, или то и другое вместе. Это непосредственно вытекает из формулы (22), если под понимать радиус отверстия.

Читайте также:  Как построить огромный танк в майнкрафт

Продолжая построение, получим векторную диаграмму для результирующей амплитуды колебаний в точке от действия первых двух зон Френеля (рис.11, б), затем от первых трех зон Френеля (рис.11, в), и т. д. Цепочка по мере увеличения числа узких кольцевых зон будет «закручиваться» в спираль, и в результате амплитуда от действия всех зон (всей волновой поверхности) будет равна (рис.12). Эту спираль назовем спиралью Френеля (в отличие от другой спирали, с которой мы встретимся в следующем параграфе).

Забегая вперед, отметим, что дифракция Френеля связана с действием лишь нескольких первых витков спирали (более подробно об этом поговорим позднее).

Таким образом, амплитуда колебаний и интенсивность света в точке (см. рис.9) по мере увеличения радиуса отверстия в экране изменяется не монотонно. Пока открывается первая зона Френеля, амплитуда в точке увеличивается и достигает максимума при полностью открытой зоне (см. рис.11, а). Но по мере открывания второй зоны Френеля амплитуда колебаний в точке убывает, и при полностью открытых двух первых зонах уменьшается почти до нуля (см. рис.11, б). Затем амплитуда увеличивается снова (рис.11, в) и т. д.

То же самое будет наблюдаться, если вместо увеличения отверстия приближать к нему точку наблюдения вдоль прямой (см. рис.9). Это легко понять из данного рисунка: при этом число открываемых зон Френеля в отверстии экрана будет увеличиваться.

На первый взгляд эти результаты, предсказанные на основе принципа Гюйгенса-Френеля, выглядят парадоксальными. Однако они хорошо подтверждаются опытом. В то же время согласно геометрической оптике интенсивность света в точке не должна зависеть от радиуса отверстия.

Зонная пластинка, содержащая открытых зон, создает в точке интенсивность приблизительно в раз большую, чем отверстие в первую зону Френеля.

Усиление интенсивности света зонной пластинкой эквивалентно фокусирующему действию линзы. Расстояния от зонной пластинки до источника и его «изображения» связаны таким же соотношением, как и соответствующие расстояния для линзы. Чтобы в этом убедиться, достаточно переписать формулу (22) в виде

Интенсивность света в главном фокусе зонной пластинки можно увеличить еще в четыре рачза, если изменить на фазы вторичных волн, исходящих из всех зон Френеля с четными (или нечетными) номерами. Тогда векторы-амплитуды от всех зон будут сонаправлены и результирующая амплитуда возрастет еще вдвое. Такая пластинка была изготовлена Вудом путем травления в соответствующих зонах тонкого лакового покрытия. Ее действие вполне эквивалентно действию линзы, так как в обоих случаях вторичные волны от всех точек волновой поверхности приходят в точку в одинаковых фазах.

Читайте также:  Как построить диаграмму максвелла кремоны для фермы

Дополнительные замечания. Они касаются как самой спирали Френеля в качестве рабочего инструмента, так и вида дифракционной картины в зависимости от радиуса отверстия.

Когда же в отверстии укладывается большое число зон Френеля, интенсивность вблизи точки оказывается почти равномерной и лишь у краев геометрической тени отверстия наблюдается чередование весьма узких светлых и темных кольцевых полос.

Продемонстрируем на конкретном примере возможности спирали Френеля (см. рис. 12) при дифракции от некоторых объектов, не обладающих круговой симметрией.

Для большинства задач вопрос о фазе не имеет значения, ибо нас интересует интенсивность результирующей волны, которая пропорциональна квадрату амплитуды. Значение же последней метод Френеля дает правильное.

Источник

Метод векторных диаграмм. Зоны Френеля

Оставим на время интеграл Френеля (7.2) и поясним суть принципа Гюйгенса-Френеля на примере «осесимметричной задачи» дифракции (рис.7.6).


S — первичный источник сферических волн, P — точка наблюдения.

Радиусом a = выделим фрагмент сферической волновой поверхности. Волновую поверхность разделим на кольцевые зоны — зоны Френеля. Первую зону — сферический сегмент — выделим радиусом . Здесь b — расстояние от вершины (полюса) волновой поверхности — точки О до точки наблюдения P.

Остальные зоны будем вырезать на сферической волновой поверхности, увеличивая каждый раз радиус от точки P на .

Таким образом, расстояние от внешнего края m-ой зоны до точки P составит величину

(7.3)

Смысл деления волновой поверхности на такие зоны состоит в том, что колебания, приходящие в точку P от «сопряжённых» точек двух соседних зон, происходят в противофазе. Поэтому и результирующие колебания в точке P от двух соседних зон будут иметь сдвиг по фазе на π.

Как следует из уравнения Френеля (7.2), амплитуда вторичных колебаний пропорциональна площади зоны. Покажем, что для не слишком большого числа зон Френеля (m), площади всех зон примерно одинаковы (рис. 7.7).

Выделим на волновой поверхности m зон Френеля. Площадь m-ой зоны

Здесь Sm и Sm-1 — площади сферических сегментов, содержащих соответственно (m) и (m-1) зону.

Читайте также:  С помощью чертежного треугольника постройте

Из рисунка 7.7 следует

(7.4)

Отсюда нетрудно вычислить высоту сферического сегмента

(7.5)

Площади сферических сегментов:

,

Теперь ясно, что площадь m-ой кольцевой зоны Френеля

(7.6)

Полученный результат свидетельствует о том, что площадь зоны не зависит от её номера — m. Это означает, что площади зон Френеля приблизительно одинаковы.

Попутно отметим, что из уравнения (7.4) можно получить выражение для радиуса m-ой зоны

(7.7)

Вернёмся к интегралу Френеля (уравнение 7.2)

Рассмотрим его отдельно для каждой из зон. С ростом номера, как было показано, площадь зоны не меняется, но растёт расстояние и уменьшается коэффициент k(φ) (с увеличением φ). В результате, с ростом номера зоны амплитуды соответствующих колебаний в точке P будут монотонно убывать:

Учитывая, что колебания от двух соседних зон в точке наблюдения происходят в противофазе, амплитуду результирующего колебания можно представить в виде:

(7.8)

Амплитуды с ростом номера зоны монотонно убывают, поэтому можно принять, что Отсюда следует, что все скобки в выражении (7.8) равны нулю.

Амплитуда колебания, создаваемого в точке P всеми вторичными источниками сферической волновой поверхности:

Эта амплитуда вдвое меньше амплитуды того колебания, которое создаётся в точке P вторичными источниками только одной первой зоны (!). Если открыта не вся волновая поверхность, а только m зон, то результирующая амплитуда:

— при нечётном m

— при чётном m.

Более детально эту задачу можно решить, воспользовавшись методом векторных диаграмм.

Разобьём зоны Френеля на сферической волновой поверхности на большое число «подзон». Каждая зона Френеля, таким образом, будет разделена на большое число элементарных кольцевых полосок. В точке наблюдения эти подзоны будут создавать колебания, сдвинутые по фазе на малую долю π. Сложим эти колебания, используя метод векторных диаграмм (рис. 7.8)

На рисунке 7.8 модуль каждого вектора равен амплитуде колебаний, приходящих в точку P от соответствующей подзоны. И каждый вектор повёрнут относительно предыдущего на угол, равный разности фаз этих соседних колебаний.

Учитывая, что с ростом номера подзоны амплитуда колебаний падает, в результате сложения колебаний получим не замкнутую линию, а ломаную спираль. При увеличении числа подзон и, соответственно, уменьшении их площади, ломаная спираль будет стремиться к гладкой (рис. 7.9).

Дата добавления: 2014-01-15 ; Просмотров: 1143 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Adblock
detector