Меню

Построить все попарно неизоморфные графы

3.01.4. Изоморфные графы

Одной из особенностей графов является то, что при их изображении на плоскости совершенно не важно, как расположены вершины друг относительно друга. Поэтому одному и тому графу могут соответствовать различные его изображения. Кроме того, именно такие рисунки, представляющие собой простейший способ задания графа, зачастую и называют графами. Чтобы отличать рисунки, отвечающие одному и тому же графу, от рисунков, изображающих различные графы, введем следующее понятие.

Определение. Два графа G и H называются Изоморфными, если существует биекция F: V(G) ® V(H), сохраняющая смежность, т. е. такое биективное отображение, при котором образы вершин V и U графа G смежны в H тогда и только тогда, когда U и V смежны в графе G. Отображение F, обладающее указанным свойством, называется Изоморфизмом.

Если графы G и H изоморфны, то пишут G @ H.

Например, все три графа на следующих рисунках изоморфны друг другу (изоморфизм определяется нумерацией вершин)

А на следующих трех рисунках представлены попарно неизоморфные графы.

В некоторых ситуациях все же приходится различать изоморфные графы и тогда возникает понятие «Помеченный граф«. Граф порядка N называется помеченным, если его вершинам присвоены метки, например, номера 1, 2, 3, …, N. В этом случае вершины графа G отождествляют с их номерами, т. е. полагают, что V(G) = <1, 2, 3, …, N>. Помеченные графы G и H считаются совпадающими (изоморфными) при дополнительном условии, что E(G) = E(H).

На следующих рисунках изображены три попарно неизоморфные помеченные графы (которые, очевидно, совпадают друг с другом, если убрать пометки).

Источник

Сколько существует попарно неизоморфных графов с 10 вершинами и 43 ребрами?

При каком значении параметра α вектор а перпендикулярен вектору b?

Для решения задачи будем использовать утверждение о том, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.

1 0 · Хороший ответ

В каком числе точек пересекаются 15 прямых, никакие 3 из них не пересекаются в одной точке, если среди них есть ровно 2 параллельные?

Если бы не было параллельных вообще, пересекалась бы каждая с каждой: 15 * 14 / 2 (делится пополам, потому что «прямая А пересекается с прямой Б» – это то же самое, что «прямая Б пересекается с прямой А». 15 * 14 / 2 = 105.
Но поскольку две из них параллельные, то они между собой не пересекаются. То есть на одно пересечение меньше, то есть 104. Кажется, так.

1 1 · Хороший ответ

Расскажите, пожалуйста об асимптотических свойствах случайных графов? Как распределяются ребра в таком графе?

Тем не менее, это лишь одна из многих интерпретаций графа. Кроме того, существует большое множество других, более сложных моделей, которые в том или ином роде являются частными случаями или обобщениями классической модели и заслуживают отдельного изучения (ориентированные графы, гипер-графы, регулярные графы, дистанционные графы и тд).

Что касается свойств графов, то их бесчисленное множество. По сути, любая характеристика, которую вы сможете придумать, тоже будет являться свойством графа. Из самых известных можно вспомнить свойство связности (это когда из любой вершины, двигаясь только по ребрам, можно добраться в любую другую вершину), гамильтоновости (это когда в графе есть замкнутый путь, проходящий через каждую вершину ровно один раз)

, число независимости графа (это размер наибольшего подмножества вершин, такого, что никакие две из них не соединены ребром), кликовое число графа (размер наибольшего подмножества вершин, такого, что любые две из них соединены ребром) и конечно же хроматическое число графа (минимальное число цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета)

. Каждому из этих свойств посвящено множество работ и все они имеют огромное количество полезных следствий и приложений. Некотрые из них изучены уже достаточно хорошо и в современной комбинаторике чаще рассматриваются их обобщения на более сложные модели, про другие же наоборот известно относительно мало, несмотря на то, что их изучением занимались многие выдающиеся ученые. Все эти свойства очень полезны при изучении дргуих характеристик графов или дргуих, гораздо более сложных структур.

Читайте также:  Как я построил забор

Теперь о случайных графах. Желание добавить частицу теории вероятностей в графы является вполне естественным, поскольку большинство процессов, которые происходят в реальной жизни, в той или иной степени случайны. Соответственно и модель, описывающая эти процессы, должна учитывать это свойство нашего мира. Как и раньше, можно придумать много определений «случайного графа», и все они при этом будут правильными, однако самые известные модели были преложен учеными П. Эрдешем и А. Реньи (почитать про них можно, например, тут: https://mipt.ru/upload/30d/Pages_130-140_from_Trud-8-14-arphcxl1tgs.pdf). Коротко опишу одну из этих моделей: фиксируется некоторое число p между нулем и единицей, берется полный граф на n вершинах (это значит, что в нем проведены ребра между любыми двумя вершинами), а затем каждое ребро удаляется из графа с вероятностью p. Получившаяся в итоге случайная величина, принимающая значения на множестве всех возможных графов на n вершинах, и называется случайным графом. Такая модель имеет уже гораздо дольше общего с реальным миром. Например, если наш граф описывает транспортную сеть некоторого города, то случайное отсутствие каких-то ребер может быть обусловленно, например, тем, что любая дорога может быть с некоторой вероятностью забита пробкой, закрыта на ремонт или перекрыта из-за того, что кое кто едет с работы домой. Соответственно, теперь мы можем изучать свойства случайных графов. Выглядит это так: мы берем полный граф на n вершинах, удаляем с вероятностью p каждое ребро и смотрим, какими свойствами обладает получившийся граф и с какой вероятностью. Например, может так получиться, что мы удалили вообще все ребра из нашего графа (например, если мы возьмем p = 1). Тогда получившийся граф будет несвязным (потому что у него вообще не будет ребер, а значит мы не сможем дойти ни из какой вершины ни в какую другую). Аналогично, может оказаться, что мы вообще не удалили ребер из графа (p = 0), и такой граф будет связным.

Так можно исследовать и другие свойства и их вероятность в зависимости от разных значений p.

2 · Хороший ответ

Какой геометрической фигурой можно полностью замостить сферу, при условии сохранения неизменными всех углов и длины ребер?

Что если перед началом партии шахматные фигуры расставлять случайным образом, подкидывая игральную кость (кубик)?

Если сохранить зеркальную симметрию, расставить одинаковые фигуры двух игроков в одни и те же вертикальные ряды, получатся фишеровские шахматы. В этом варианте игры количество исходных позиций составляет не 1, а 960, что значительно увеличивает разнообразие игровых ситуаций.

Отношение среди шахматистов к этому варианту различное. Кто-то в восторге, кто-то фишеровских шахмат не переносит на дух. Многим не интересно. Я с удовольствием иногда играю.

8 · Хороший ответ

Читайте также

Если Ева сотворена из ребра Адама, то почему у мужчин и женщин одинаковое количество рёбер?

3 · 3 ответа · Общество

Квадрат разрезали пополам и сложили из получившихся прямоугольников букву т?

Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет ровно 3 раза?

2 · 1 ответ · Математика

Люди с обширной профессией «инженер»,расскажите, понадобилась ли вам теория вероятности,тройные и двойные дифферинциалы и другое г*вно этой высшей математики?

Если сейчас взять и удалить у мужчины ребро, то у его ребенка рёбер будет ровно столько, сколько было у отца до удаления.

Да и Ева имеет существенные отличия от Адама, если внесены эти различия, почему не внести и изменения касательно рёбер.

«,»good»:true,»id»:»199866″,»invalidVerificationsCount»:null,»isThequestion»:true,»liked»:null,»negativeVotes»:0,»pendingModeration»:false,»plainText»:»Если сейчас взять и удалить у мужчины ребро, то у его ребенка рёбер будет ровно столько, сколько было у отца до удаления.\nДа и Ева имеет существенные отличия от Адама, если внесены эти различия, почему не внести и изменения касательно рёбер.»,»positiveVotes»:3,»quality»:3,»questionId»:»142128″,»repostsCount»:null,»subscribed»:false,»text»:»Если сейчас взять и удалить у мужчины ребро, то у его ребенка рёбер будет ровно столько, сколько было у отца до удаления.\n\nДа и Ева имеет существенные отличия от Адама, если внесены эти различия, почему не внести и изменения касательно рёбер.»,»updated»:»2016-07-30T16:55:15.532693+00:00″,»validVerificationsCount»:null,»viewsCount»:8687,»votes»:3,»type»:»answer»,»verifiedExperts»:null,»video»:null,»validVerifications»:null,»invalidVerifications»:null>,»280196″:<"anonymous":false,"audienceLimitation":null,"author":"51482","banned":false,"commentsCount":null,"contextUserCanMakeComment":false,"created":"2016-12-05T21:53:53.602887+00:00","deleted":false,"editorChoice":false,"formattedText":"

Читайте также:  Как построить теплый туалет на даче с унитазом

Если сохранить зеркальную симметрию, расставить одинаковые фигуры двух игроков в одни и те же вертикальные ряды, получатся фишеровские шахматы. В этом варианте игры количество исходных позиций составляет не 1, а 960, что значительно увеличивает разнообразие игровых ситуаций.

Отношение среди шахматистов к этому варианту различное. Кто-то в восторге, кто-то фишеровских шахмат не переносит на дух. Многим не интересно. Я с удовольствием иногда играю.

Найдём число рёбер, если бы граф был полный:

В полном графе степень вершины равна p-1 => deg=9

Значит у нас 10*9/2=45 рёбер

к чему веду, графы не изоморфны, если не изоморфны их дополнения.

следовательно из всех возможных дополнений мы получаем один граф у которого длина цепи равна двум, а все остальные точки и второй граф у которого два несоединённых ребра.

«,»good»:true,»id»:»48d5839b-bb3f-4018-909c-bb18d4ef4c20″,»invalidVerificationsCount»:0,»isThequestion»:null,»liked»:null,»negativeVotes»:0,»pendingModeration»:false,»plainText»:»Найдём число рёбер, если бы граф был полный:\nВ полном графе степень вершины равна p-1 => deg=9\nЗначит у нас 10*9/2=45 рёбер\nк чему веду, графы не изоморфны, если не изоморфны их дополнения.\nследовательно из всех возможных дополнений мы получаем один граф у которого длина цепи равна двум, а все остальные точки и второй граф у которого два несоединённых ребра.»,»positiveVotes»:0,»quality»:3,»questionId»:»3e3b26fb-5536-3828-e78c-0c3d9653d31b»,»repostsCount»:null,»subscribed»:false,»text»:»Найдём число рёбер, если бы граф был полный:\n\nВ полном графе степень вершины равна p-1 => deg=9\n\nЗначит у нас 10*9/2=45 рёбер\n\nк чему веду, графы не изоморфны, если не изоморфны их дополнения.\n\nследовательно из всех возможных дополнений мы получаем один граф у которого длина цепи равна двум, а все остальные точки и второй граф у которого два несоединённых ребра.\n\n![image.png](https://avatars.mds.yandex.net/get-znatoki/1649112/2a00000174d797cc939f4b096e19787544e9)\n\n»,»updated»:»2020-09-29T02:01:25.244765+00:00″,»validVerificationsCount»:0,»viewsCount»:154,»votes»:0,»commentTopics»:[«all»],»firstUserAnswer»:true,»type»:»answer»,»verifiedExperts»:null,»video»:null,»validVerifications»:null,»invalidVerifications»:null>,»728a9154-54aa-42db-a4a4-0159a5abfae6″:<"anonymous":false,"audienceLimitation":null,"author":"facafc6f-6590-44da-98bb-38e6523f5db4","banned":false,"commentsCount":null,"contextUserCanMakeComment":false,"created":"2018-12-12T12:30:46.618092+00:00","deleted":false,"editorChoice":false,"formattedText":"

Но нас интересуют все такие случае, а не только три первых. Значит нужно домножить на число способов выбрать любые три из десяти C(10,3)

Векторы a b и c будут компланарны, если их смешанное произведение будет равно нулю. Нужно найти определитель матрицы размерности 3х3:

Условия компланарности: det(A) = 0

Для решения задачи будем использовать утверждение о том, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.

«,»good»:true,»id»:»2a7b4e9a-5d1b-451c-a3ff-06380f3f4f56″,»invalidVerificationsCount»:null,»isThequestion»:null,»liked»:null,»negativeVotes»:-1,»pendingModeration»:false,»plainText»:»Для решения задачи будем использовать утверждение о том, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.\n-5*(-6)+(-1)*(-1)+4α=30+1+ 4α=0\n4α=-31\nα=-31/4\nОтвет:-31/4″,»positiveVotes»:10,»quality»:4,»questionId»:»61a7e2d3-02f4-4237-bb81-6e5404025f54″,»repostsCount»:null,»subscribed»:false,»text»:»Для решения задачи будем использовать утверждение о том, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.\n\n-5*(-6)+(-1)*(-1)+4α=30+1+ 4α=0\n\n4α=-31\n\nα=-31/4\n\nОтвет:-31/4″,»updated»:»2018-12-25T18:50:59.794887+00:00″,»validVerificationsCount»:null,»viewsCount»:15502,»votes»:9,»type»:»answer»,»verifiedExperts»:null,»video»:null,»validVerifications»:null,»invalidVerifications»:null>,»ccb5208e-8155-453f-974f-aa7f30757531″:<"anonymous":false,"audienceLimitation":null,"author":"540491e5-b0bc-4544-aae1-78b48f226acb","banned":false,"commentsCount":3,"contextUserCanMakeComment":false,"created":"2018-09-24T16:42:42.121023+00:00","deleted":false,"editorChoice":false,"formattedText":"

Если бы не было параллельных вообще, пересекалась бы каждая с каждой: 15 * 14 / 2 (делится пополам, потому что «прямая А пересекается с прямой Б» – это то же самое, что «прямая Б пересекается с прямой А». 15 * 14 / 2 = 105.
Но поскольку две из них параллельные, то они между собой не пересекаются. То есть на одно пересечение меньше, то есть 104. Кажется, так.

«,»good»:true,»id»:»ccb5208e-8155-453f-974f-aa7f30757531″,»invalidVerificationsCount»:null,»isThequestion»:null,»liked»:null,»negativeVotes»:-1,»pendingModeration»:false,»plainText»:»Если бы не было параллельных вообще, пересекалась бы каждая с каждой: 15 * 14 / 2 (делится пополам, потому что «прямая А пересекается с прямой Б» – это то же самое, что «прямая Б пересекается с прямой А». 15 * 14 / 2 = 105.\nНо поскольку две из них параллельные, то они между собой не пересекаются. То есть на одно пересечение меньше, то есть 104. Кажется, так.»,»positiveVotes»:11,»quality»:2,»questionId»:»a41bc2ca-d467-4cd0-8cfa-9bb235ca9026″,»repostsCount»:null,»subscribed»:false,»text»:»Если бы не было параллельных вообще, пересекалась бы каждая с каждой: 15 * 14 / 2 (делится пополам, потому что «прямая А пересекается с прямой Б» – это то же самое, что «прямая Б пересекается с прямой А». 15 * 14 / 2 = 105.\nНо поскольку две из них параллельные, то они между собой не пересекаются. То есть на одно пересечение меньше, то есть 104. Кажется, так.»,»updated»:»2018-09-24T16:42:42.121023+00:00″,»validVerificationsCount»:null,»viewsCount»:8796,»votes»:10,»type»:»answer»,»verifiedExperts»:null,»video»:null,»validVerifications»:null,»invalidVerifications»:null>,»e1a8251f-9331-43f0-8624-1dd3b24104b4″:<"anonymous":false,"audienceLimitation":null,"author":"f7d761d2-871c-4664-af08-b853134b8822","banned":false,"commentsCount":null,"contextUserCanMakeComment":false,"created":"2019-06-03T13:15:51.754440+00:00","deleted":false,"editorChoice":false,"formattedText":"

Читайте также:  Как построить большой домик для детей

Тем не менее, это лишь одна из многих интерпретаций графа. Кроме того, существует большое множество других, более сложных моделей, которые в том или ином роде являются частными случаями или обобщениями классической модели и заслуживают отдельного изучения (ориентированные графы, гипер-графы, регулярные графы, дистанционные графы и тд).

Что касается свойств графов, то их бесчисленное множество. По сути, любая характеристика, которую вы сможете придумать, тоже будет являться свойством графа. Из самых известных можно вспомнить свойство связности (это когда из любой вершины, двигаясь только по ребрам, можно добраться в любую другую вершину), гамильтоновости (это когда в графе есть замкнутый путь, проходящий через каждую вершину ровно один раз)

, число независимости графа (это размер наибольшего подмножества вершин, такого, что никакие две из них не соединены ребром), кликовое число графа (размер наибольшего подмножества вершин, такого, что любые две из них соединены ребром) и конечно же хроматическое число графа (минимальное число цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета)

. Каждому из этих свойств посвящено множество работ и все они имеют огромное количество полезных следствий и приложений. Некотрые из них изучены уже достаточно хорошо и в современной комбинаторике чаще рассматриваются их обобщения на более сложные модели, про другие же наоборот известно относительно мало, несмотря на то, что их изучением занимались многие выдающиеся ученые. Все эти свойства очень полезны при изучении дргуих характеристик графов или дргуих, гораздо более сложных структур.

Теперь о случайных графах. Желание добавить частицу теории вероятностей в графы является вполне естественным, поскольку большинство процессов, которые происходят в реальной жизни, в той или иной степени случайны. Соответственно и модель, описывающая эти процессы, должна учитывать это свойство нашего мира. Как и раньше, можно придумать много определений \»случайного графа\», и все они при этом будут правильными, однако самые известные модели были преложен учеными П. Эрдешем и А. Реньи (почитать про них можно, например, тут: https://mipt.ru/upload/30d/Pages_130-140_from_Trud-8-14-arphcxl1tgs.pdf). Коротко опишу одну из этих моделей: фиксируется некоторое число p между нулем и единицей, берется полный граф на n вершинах (это значит, что в нем проведены ребра между любыми двумя вершинами), а затем каждое ребро удаляется из графа с вероятностью p. Получившаяся в итоге случайная величина, принимающая значения на множестве всех возможных графов на n вершинах, и называется случайным графом. Такая модель имеет уже гораздо дольше общего с реальным миром. Например, если наш граф описывает транспортную сеть некоторого города, то случайное отсутствие каких-то ребер может быть обусловленно, например, тем, что любая дорога может быть с некоторой вероятностью забита пробкой, закрыта на ремонт или перекрыта из-за того, что кое кто едет с работы домой. Соответственно, теперь мы можем изучать свойства случайных графов. Выглядит это так: мы берем полный граф на n вершинах, удаляем с вероятностью p каждое ребро и смотрим, какими свойствами обладает получившийся граф и с какой вероятностью. Например, может так получиться, что мы удалили вообще все ребра из нашего графа (например, если мы возьмем p = 1). Тогда получившийся граф будет несвязным (потому что у него вообще не будет ребер, а значит мы не сможем дойти ни из какой вершины ни в какую другую). Аналогично, может оказаться, что мы вообще не удалили ребер из графа (p = 0), и такой граф будет связным.

Так можно исследовать и другие свойства и их вероятность в зависимости от разных значений p.

Источник

Adblock
detector