Меню

Построить взаимно однозначное соответствие между множествами

Математика

Множества и операции. Понятие множества.

Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами

Разложим наши яблоки, хотя бы на столе, и попробуем положить против каждого яблока пр груше. Возможны три случая (рис. 2).

Первый случай: против каждого яблока окажется груша, и при этом не только все яблоки, но и все груши окажутся разложенными. В этом случае, очевидно, у нас столько же яблок, сколько и груш.

В математике можно найти многочисленные примеры взаимно однозначных соответствий. Например, каждой вершине треугольника или тетраэдра соответствует противоположная этой вершине сторона или грань. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех вершин треугольника (тетраэдра) и множеством всех его сторон (граней). Множество всех сторон правильного многоугольника находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех перпендикуляров, которые опущены на эти стороны из центра правильного многоугольника. Множество всех боковых граней пирамиды находится во взаимно однозначном соответствии с множеством апофем этой пирамиды и т. д.

Да, есть и такой музей. Часов там много всяких: старинных и современных, механических и электрических, огромных и крошечных, с боем и без боя, с циферблатом и без циферблата.

Ответы и решения

Ответ. 1000000000=10 9 =(2*5) 9 =2 9 *5 9 = 51,2*1953126. 1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 = 2 18 * 5 18 = 262 144 * 3 814 697 265 625. каждый из которых, кроме первого, вписан в предыдущий (рис. 3, III). Множество всех этих треугольников обозначим через X. Каждый треугольник получил определенное натуральное число п в качестве своего номера.

Номером треугольника Тn является натуральное число п. Этим, очевидно, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством X наших треугольников и множеством всех натуральных чисел.

Источник

Взаимно-однозначные соответствия

Воспользуемся введенной записью для определения понятия соот­ветствия, обратного данному.

Читайте также:  Как построить арку в майнкрафте

Упражнения

1.Вычислив длины заданных отрезков, учащийся записал: АВ = 7 см, СD = 12 см, КL = 15 см, XY = 12 см. Соответствие между какими множествами он установил? Задайте это соответствие при помощи предложения с двумя переменными и графа.

2.Даны множества: X = <2, 5>, Y = <3, 6>. Перечислите элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какое из подмножеств задает соответст­вие: а) «больше»; б) «меньше»; в) «меньше на 1»; г) «меньше в 3 раза»?

3.Соответствие «число х в два раза больше числа у» рассматривается между множествами X и Y. Каким будет его график, если:

а) X = <2,4,6,8>, Y = N; б) X =[2, 8], Y=R;

в) Х = Y =R.

5. Графиком соответствия Р, заданного между множествами X и Y, являются все точки прямоугольника АВСD (рис. 73). Назовите координаты трех точек, принадлежащих этому графику и задайте множества X и Y.

8. Даны графики соответствий P и Q (рис. 74). Можно ли утверждать, что соответствия P и Q

9.Постройте графики соответствий, обратных данным (рис. 75).

Лекция17. Взаимно-однозначные соответствия

1. Взаимно-однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества Х на множество Y.

2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.

3. Основные выводы

Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества Х на множество Y

В математике изучают различные виды соответствий. Это не слу­чайно, поскольку взаимосвязи, существующие в окружающем нас мире, многообразны. Для учителя, обучающего математике младших школьников, особую значимость имеют взаимно однозначные соот­ветствия.

Определение. Взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y называется такое соответствие, при кото­ром каждому элементу множества X сопоставляется единст­венный элемент множества Y и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу множества X.

Рассмотрим примеры взаимно однозначных соответствий.

Рис. 76

Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому кружку из множества X сопоставляется единственный квадрат из множества Y и каждый квадрат из Y соответствует только одному кружку из множества X.

Читайте также:  Разрушить проще чем построить обидеть легче чем простить продолжить

В математике взаимно однозначное соответствие между множествами X и Y часто называют взаимно однозначным отображение множества X на множество Y.

Понятие взаимно однозначного соответствия позволяет определитьотношение равномощности множеств.

Источник

Взаимно однозначные соответствия

Определение.Соответствие между Х и Y называют взаимно однозначным, если каждый элемент множества Х имеет единственный образ в множестве Y и каждый элемент множества Y является образом точно одного элемента множества Х.

1) Пусть Х = <a, в, с> – множество сторон треугольника, Y = <A, B, C> – множество его углов. Соответствие R = <(а, А), (в, В),
(с, С)> – является взаимно однозначным.

3) Пусть N – множество натуральных чисел, В – множество четных натуральных чисел. Соответствие между ними зададим так: каждому натуральному числу n сопоставляется четное натуральное число 2n и обратно, каждому натуральному числу 2n сопоставляется число n Î N. Ясно, что это соответствие является взаимно однозначным.

Понятие взаимно однозначного соответствия позволяет определить понятие «равномощности множеств».

Определение.Множества X и Y называют равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если множества X и Y равномощны, то пишут X

Нетрудно заметить, что пары множеств, которые были рассмотрены в примерах 1, 2, 3 равномощны. В примерах 1 и 2 были рассмотрены пары конечных равномощных множеств, а в примере 3 – пара бесконечных равномощных множеств.

Равномощные конечные множества имеют одинаковое число элементов и называются равночисленными.

Среди бесконечных множеств бывают счетные и несчетные множества. Если бесконечное множество равномощно множеству N (натуральных чисел), его называют счетным. Пример счетного множества приведен выше – это множество четных натуральных чисел. Вообще, легко доказать, что любое бесконечное подмножество множества N счетно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастания и присвоить им номера по порядку. Можно доказать, что множество Z (всех целых чисел), множество Q (всех рациональных чисел) являются счетными множествами. Множество действительных чисел R является несчетным множеством (доказательство приводится в [16], с. 51).

Читайте также:  Как построить диаграмму времени

§ 4 Обратное соответствие. Противоположное соответствие

Приведенный рисунок 2 можно описать словами двояко: «треугольник х вписан в окружность у» и «окружность у описана вокруг треугольника х». Хотя геометрический смысл этих предложений один и тот же, речь в них идет о хотя и тесно связанных друг с другом, но разных соответствиях.

В первом случае речь идет о соответствии между множеством треугольников X и множеством окружностей Y. Во втором случае между множествами Y и X. Графики этих двух соответствий связаны друг с другом следующим образом: если пара (х, у) принадлежит графику первого соответствия, то пара (у, х) принадлежит графику второго соответствия, и обратно. Такие соответствия называют обратными друг другу.

Для любого соответствия R можно указать не только обратное, но и противоположное соответствие.

Определение. Если R соответствие между X и Y, то противоположным ему называют такое соответствие, обозначаемое , между множествами X и Y, которое является дополнением соответствия R до множества X ´ Y.

Таким образом, x y в том и только в том случае, когда не имеет место соответствие xRy, здесь х Î Х, у Î Y.

Например, если между множеством прямых X и множеством плоскостей Y задано соответствие R указанием характеристического свойства «прямая х параллельна плоскости у», где х Î Х, у Î Y, то противоположное соответствие между этими же множествами задается характеристическим свойством «прямая x не параллельна плоскости у».

Источник

Adblock
detector