Меню

Сопромат построить ядро сечения

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Внецентренное растяжение-сжатие

Задача:

Бетонный столб заданного сечения сжимается силой F=100кН, приложенной в точке К. Требуется:

1) Найти положение нулевой линии и проверить прочность, если [σс]=15МПа, [σр]=0,5МПа.

2) Построить ядро сечения.

Для решения задачи необходимо знать геометрические характеристики сечения, то есть положение центра тяжести, величину площади, положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции. С этого и начнем. Так как сечение имеет одну ось симметрии у, то она является одной из главных центральных осей. Другая главная центральная ось пройдет перпендикулярно оси симметрии через центр тяжести сечения. Нам неизвестно его положение на оси симметрии. Для его определения выберем произвольную ось, перпендикулярную оси симметрии (например, х1), вычислим статический момент сечения относительно этой оси, а затем разделим его на площадь сечения. Это и будет расстояние от оси х1 до центра тяжести сечения С.

Но поскольку сечение представляет собой сложную фигуру, то предварительно «разобьем» его на простые части и покажем на чертеже собственные центральные оси каждой из этих частей (х1, у1; х2, у2; х3, у3; х4, у4). Итак:

Откладываем эту ординату вверх от оси х1 по оси симметрии, это и есть центр тяжести сечения С, через который проводим вторую главную центральную ось х.

Остается вычислить осевые моменты инерции относительно каждой из осей.

Тогда квадраты радиусов инерции относительно главных центральных осей будут:

Для определения положения нулевой линии в сечении необходимо вычислить величины отрезков, которые нулевая линия отсекает от главных центральных осей инерции, по формулам:

Здесь: хF и уF – координаты точки приложения силы F в системе главных центральных осей. В нашем случае : хF =50см, уF=30-12,8=17,2см.

Отложив эти отрезки с учетом их знаков, проводим нулевую линию (см. чертеж), которая делит сечение на две зоны: сжатую и растянутую:

Для оценки прочности надо найти наибольшие напряжения: сжимающие и растягивающие, а затем сопоставить их с допускаемыми напряжениями.

Наибольшее сжимающее напряжение возникает в той точке сжатой зоны, которая наиболее удалена от нулевой линии. Судя по чертежу, эта точка К с координатами хК=50см и уК=17,2см. Подставляя эти координаты в формулу напряжений, имеем:

Читайте также:  Какого размера можно построить гараж на участке ижс

Наиболее удаленной от нулевой линии точкой в растянутой зоне является точка В с координатами хВ=50см и уВ=- (30+12,8)=-42,8см. В ней и возникает наибольшее растягивающее напряжение:

Следовательно, заданная прочность не обеспечена, так как в растянутой зоне условие прочности не выполняется.

Для построения ядра сечения задаемся несколькими конкретными положениями нулевой линии так, чтобы она только касалась контура самого сечения и нигде его не пересекала, и для каждого такого положения нулевой линии вычисляем координаты соответствующего ей центра давления. Эти точки и определят контур самого ядра сечения.

На схеме показывает центр давления 1.

Для нулевой линии II отрезок, отсекаемый от оси х,составит величину

От оси у Н.Л. II отсекает отрезок

Тогда соответствующий центр давления расположится в точке с координатами:

На схеме это точка 2.

Нулевая линия III симметрична нулевой линии II, поэтому и правая точка 3 симметрична точке 2.

А нулевая линия IV симметрична линии I. Следовательно, ядровая точка 4 симметрична точке 1.

Наконец, проводим нулевую линию V по нижней кромке сечения. Она отсекает от главных центральных осей отрезки: ах=∞ и ау=-42,8см. Соответствующие координаты центра давления будут:

На схеме это точка 5.

Поскольку переходы нулевых линий из одного положения в смежное с ним происходили путем поворота вокруг неподвижных точек, то и перемещение центра давления от одной ядровой точки к другой происходит по прямой линии, соединяющей эти точки. На этом основании соединяем найденные ядровые точки прямыми, которые и ограничивают область, называемую ядром сечения.

Источник

Сопромат построить ядро сечения

При конструировании стержней из материалов, плохо сопротивляющихся растяжению (бетон), весьма желательно добиться того, чтобы все сечение работало лишь на сжатие. Этого можно достигнуть, не давая точке приложения силы Р слишком далеко отходить от центра тяжести сечения, ограничивая величину эксцентриситета.

Конструктору желательно заранее знать, какой эксцентриситет при выбранном типе сечения можно допустить, не рискуя вызвать в сечениях стержня напряжений разных знаков. Здесь вводится понятие о так называемом ядре сечения. Этим термином обозначается некоторая область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой можно располагать точку приложения силы Р, не вызывая в сечении напряжений разного знака.

Пока точка А располагается внутри ядра, нейтральная ось не пересекает контура сечения, все оно лежит по одну сторону от нейтральной оси и, стало быть, работает лишь на сжатие. При удалении точки А от центра тяжести сечения нейтральная ось будет приближаться к контуру; граница ядра определится тем, что при расположении точки А на этой границе нейтральная ось подойдет вплотную к сечению, коснется его.

Читайте также:  Построить скворечник своими руками фото с размерами

Рис.1. Комбинации положения сжимающей силы и нейтральной линии

Таким образом, если мы будем перемещать точку А так, чтобы нейтральная ось катилась по контуру сечения, не пересекая его, то точка А обойдет по границе ядра сечения. Если контур сечения имеет «впадины», то нейтральная ось будет катиться по огибающей контура.

Чтобы получить очертание ядра, необходимо дать нейтральной оси несколько положений, касательных к контуру сечения, определить для этих положений отрезки и и вычислить координаты и точки приложения силы по формулам, вытекающим из известных зависимостей:

это и будут координаты точек контура ядра и .

При многоугольной форме контура сечения (Рис.2), совмещая последовательно нейтральную ось с каждой из сторон многоугольника, мы по отрезкам и определим координаты и точек границы ядра, соответствующих этим сторонам.

При переходе от одной стороны контура сечения к другой нейтральная ось будет вращаться вокруг вершины, разделяющей эти стороны; точка приложения силы будет перемещаться по границе ядра между полученными уже точками. Установим, как должна перемещаться сила Р, чтобы нейтральная ось проходила все время через одну и ту же точку В (,) — вращалась бы около нее. Подставляя координаты этой точки нейтральной оси в известное уравнение нейтральной оси (линии), получим:

Рис.2. Ядро сечения для многоугольной формы поперечного сечения

Таким образом координаты и точки приложения силы Р связаны линейно. При вращении нейтральной оси около постоянной точки В точка А приложения силы движется по прямой. Обратно, перемещение силы Р по прямой связано с вращением нейтральной оси около постоянной точки.

На Рис.3 изображены три положения точки приложения силы на этой прямой и соответственно три положения нейтральной оси. Таким образом, при многоугольной форме контура сечения очертание ядра между точками, соответствующими сторонам многоугольника, будет состоять из отрезков прямых линий.

Рис.3. Динамика построения ядра сечения

Если контур сечения целиком или частично ограничен кривыми линиями, то построение границы ядра можно вести по точкам. Рассмотрим несколько простых примеров построения ядра сечения.

При выполнении этого построения для прямоугольного поперечного сечения воспользуемся полученными формулами.

Читайте также:  Постройте ромб по диагонали и углу который образует другая диагональ

Для определения границ ядра сечения при движении точки А по оси Оу найдем то значение , при котором нейтральная ось займет положение Н1О1. Имеем:

Таким образом, границы ядра по оси Оу будут отстоять от центра сечения на 1/6 величины b (Рис.4, точки 1 и 3); по оси Oz границы ядра определятся расстояниями (точки 2 и 4).

Для получения очертания ядра целиком изобразим положения нейтральной оси и , соответствующие граничным точкам 1 и 2.

При перемещении силы из точки 1 в точку 2 по границе ядра нейтральная ось должна перейти из положения в положение , все время касаясь сечения, т. е. поворачиваясь вокруг точки D.

Рис.4. построение ядра для прямоугольного сечения.

Для этого сила должна двигаться по прямой 1 — 2. Точно так же можно доказать, что остальными границами ядра будут линии 2—3, 3—4 и 4—1.

Таким образом, для прямоугольного сечения ядро будет ромбом с диагоналями, равными одной трети соответствующей стороны сечения. Поэтому прямоугольное сечение при расположении силы по главной оси работает на напряжения одного знака, если точка приложения силы не выходит за пределы средней трети стороны сечения.

Рис.5. Динамика изменения напряжений при изменении эксцентриситета.

Эпюры распределения нормальных напряжений по прямоугольному сечению при эксцентриситете, равном нулю, меньшем, равном и большем одной шестой ширины сечения, изображены на Рис.5.

Отметим, что при всех положениях силы Р напряжение в центре тяжести сечения (точка О) одинаково и равно и что сила Р не имеет эксцентриситета по второй главной оси.

Для круглого сечения радиуса r очертание ядра будет по симметрии кругом радиуса . Возьмем какое-либо положение нейтральной оси, касательное к контуру. Ось Оу расположим перпендикулярно к этой касательной. Тогда

Рис.6. Ядро сечения для двутавра — а) и швеллера — б)

Таким образом, ядро представляет собой круг с радиусом, вчетверо меньшим, чем радиус сечения.

Для двутавра нейтральная ось при обходе контура не будет пересекать площади поперечного сечения, если будет касаться прямоугольного контура ABCD, описанного около двутавра (Рис.6а). Следовательно, очертание ядра для двутавра имеет форму ромба, как и для прямоугольника, но с другими размерами.

Для швеллера, как и для двутавра, точки 1, 2, 3, 4 контура ядра (Рис.6 б) соответствуют совпадению нейтральной оси со сторонами прямоугольника ABCD.

Источник

Adblock
detector